Ο μικρότερος κύκλος

KARKAR · #1

: Μικρότερος κύκλος.png (18.55 KiB) Προβλήθηκε 952 φορές

Κύκλος

διέρχεται από τα σημεία A(1,2)

,

και

της παραβολής :

y^2=4x

. Για ποια θέση του

, ο κύκλος γίνεται ο μικρότερος δυνατός ;

#2

$\boxed{{x^2} + {y^2} - \frac{{35}}{4}x - \frac{3}{8}y + \frac{9}{2} = 0}$

$\boxed{S\left( {\frac{9}{4}, - 3} \right)}$ .

Πράγματι:

Επειδή η ευθεία

έχει εξίσωση : $y - 2 = \dfrac{{4 - 2}}{{4 - 1}}\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow 2x - 3y + 4 = 0$ η δέσμη

των κύκλων που διέρχονται από τα $A\left( {1,2} \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\left( {4,4} \right)$ έχει εξίσωση :

$\left( {x - 1} \right)\left( {x - 4} \right) + \left( {y - 2} \right)\left( {y - 4} \right) + m\left( {2x - 3y + 4} \right) = 0$ με m =

πραγματική παράμετρος.

: Ο μικρότερος κύκλος.png (24.84 KiB) Προβλήθηκε 899 φορές

Απαιτώ όμως το σύστημα της πιο πάνω δέσμης με την παραβολή , ${y^2} = 4x$ να δίδει

δίδει διπλή ρίζα γιατί στο

ο κύκλος και η παραβολή έχουν κοινή εφαπτομένη .

στην εξίσωση της δέσμης θέτω όπου $x = \dfrac{{{y^2}}}{4}$ και προκύπτει:

$\left( {y - 2} \right)\left( {y - 4} \right)\left( {{y^2} + 6y + 8(m + 3)} \right) = 0$ και άρα απαιτώ η εξίσωση :

${y^2} + 6y + 8(m + 3) = 0$ να έχει διπλή ρίζα, δηλαδή διακρίνουσα μηδέν και άρα

$\boxed{m = - \frac{{15}}{8}}$ . έχει δε διπλή ρίζα ${y_1} = {y_2} = - 3$ , οπότε από , $x = \dfrac{{{y^2}}}{4} \Rightarrow x = \dfrac{9}{4}$ δηλαδή

$\boxed{S\left( {\frac{9}{4}, - 3} \right)}$

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Σεπ 11, 2020 9:37 am Μικρότερος κύκλος.pngΚύκλος διέρχεται από τα σημεία , και της παραβολής :

. Για ποια θέση του , ο κύκλος γίνεται ο μικρότερος δυνατός ;

Εκτός των ανιαρών και επίπονων πράξεων: Ο κύκλος διέρχεται από τα (1,2),(4,4), (t^2,2t)

για κάποιο t<0

που το ψάχνουμε. Αν ο κύκλος είναι ο (x-a)^2+(y-b)^2=r^2

, οι προηγούμενες τιμές μας οδηγούν σε σύστημα με λύση (ποιος ξέρει αν έκανα σωστά τις πράξεις)

$\displaystyle{ a= \frac {1}{2} t^2+\frac {3}{2}t+\frac {11}{2}, b = -\frac {3}{4}t^2-\frac {9}{4}t-\frac {3}{2}, r^2= \frac {13}{16}(t^4+3t^3+21t^2+36t+40)}$

Θέλουμε το ελάχιστο r^2

για

, που το βρίσκουμε με παραγώγιση. Οδηγεί σε τριτοβάθμια και άντε λύσε την.

Ο μικρότερος κύκλος

Ο μικρότερος κύκλος

Re: Ο μικρότερος κύκλος

Re: Ο μικρότερος κύκλος

Μέλη σε σύνδεση