Τριγωνομετρική ανίσωση με παράμετρο

Al.Koutsouridis · #1

Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου

, για τις οποίες η ανίσωση

$\sin^4 x +\cos^4 x > a \cdot \sin x \cdot \cos x$

ικανοποιείται για όλα τα

.

#2

Θέτουμε $\displaystyle{q:=2\sin x\cos x,}$ όποτε $\displaystyle{|q|\leq 1}$ και το πρόβλημα μεταφράζεται στο εξής:

Να βρεθούν οι τιμές του $\displaystyle{a}$ , ώστε να ισχύει $\displaystyle{aq<2-q^2}$ για κάθε $\displaystyle{q}$ του $\displaystyle{[-1,1].}$

Για θετικά $\displaystyle{a}$ η συνθήκη γράφεται $\displaystyle{\frac{1}{a}>\frac{q}{2-q^2}.}$

Η συνάρτηση $\displaystyle{\frac{q}{2-q^2}}$ είναι γνησίως αύξουσα στο εν λόγω διάστημα και έχει μέγιστη τιμή φανερά το $\displaystyle{1}$ . Άρα

$\displaystyle{\frac{1}{a}>1\implies a<1.}$

Εργαζόμενοι τελείως ανάλογα για τα αρνητικά $\displaystyle{a,}$ βρίσκουμε $\displaystyle{a>-1.}$
Τέλος, η αρχική ανισότητα ισχύει όταν $\displaystyle{a=0.}$

Τελικά οι ζητούμενες τιμές του $\displaystyle{a}$ είναι οι $\displaystyle{(-1,1).}$

Λάμπρος Κατσάπας · #3

Al.Koutsouridis έγραψε: Κυρ Σεπ 27, 2020 9:56 am Να βρείτε όλες τις τιμές της παραμέτρου , για τις οποίες η ανίσωση

$\sin^4 x +\cos^4 x > a \cdot \sin x \cdot \cos x$

ικανοποιείται για όλα τα .

Θα δείξουμε ότι τα -1<a<1

είναι τα ζητούμενα. Για $x=\pi/4, 3\pi/4$ παίρνουμε ότι αναγκαστικά θα είναι -1<a<1

. Για

βλέπουμε ότι η ζητούμενη ισχύει για κάθε

αφού το αριστερό μέλος είναι θετικό πάντα. Για 0<a<1

αρκεί να πάρουμε την περίπτωση όπου $\sin x\cos x>0$ . Τότε θα ειναι $\sin x\cos x>a\sin x\cos x$ αλλά και $\sin^4 x +\cos^4 x\geq \sin x\cos x$ αφού το δεξί μέλος $\dfrac{1}{2}\sin 2x$
έχει μέγιστο το 1/2

ενώ το αριστερό, ως τριωνυμο ως προς $\sin^2 x$ , είναι $\geq 1/2.$ . Όμοια αντιμετωπιζουμε και την περίπτωση -1<a<0

όπου αρκεί να θεωρήσουμε $\sin x\cos x <0.$

Τριγωνομετρική ανίσωση με παράμετρο

Τριγωνομετρική ανίσωση με παράμετρο

Re: Τριγωνομετρική ανίσωση με παράμετρο

Re: Τριγωνομετρική ανίσωση με παράμετρο

Μέλη σε σύνδεση