Άρτιες συναρτήσεις

#1

Δείξτε ότι για κάθε άρτια συνάρηση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ υπάρχει άρτια συνάρτηση $g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ και περιττή συνάρτηση $h: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ , τέτοιες ώστε f(x)=g(h(x))+h(g(x))

.

Ισχύει το ίδιο για περιττές

;

Σχόλιο: Η άσκηση είναι απλή. Ίσως φοβίζει κάποιον που τώρα μαθαίνει για συναρτήσεις, αλλά στην πραγματικότητα το Μαθηματικό της περιεχόμενο είναι ρηχό.

Ας την αφήσουμε

ώρες για τους μαθητές μας.

#2

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Οκτ 30, 2020 5:52 pm Δείξτε ότι για κάθε άρτια συνάρηση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ υπάρχει άρτια συνάρτηση $g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ και περιττή συνάρτηση $h: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ , τέτοιες ώστε .

Ισχύει το ίδιο για περιττές ;

Σχόλιο: Η άσκηση είναι απλή. Ίσως φοβίζει κάποιον που τώρα μαθαίνει για συναρτήσεις, αλλά στην πραγματικότητα το Μαθηματικό της περιεχόμενο είναι ρηχό.

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.

Καλημέρα και καλό μήνα!

Θέτουμε g(x)=f(x)/2

και

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Τότε η

είναι άρτια, η

είναι περιττή, και ισχύει

g(h(x))+h(g(x))=g(x)+g(x)=2g(x)=f(x)

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Γενικά, εάν η

είναι άρτια και η

περιττή, τότε για τη συνάρτηση

με

έχουμε

,

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ δηλ. η

είναι άρτια.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Σταμ. Γλάρος · #3

achilleas έγραψε: Κυρ Νοέμ 01, 2020 11:09 am
Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Οκτ 30, 2020 5:52 pm Δείξτε ότι για κάθε άρτια συνάρηση $f: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ υπάρχει άρτια συνάρτηση $g: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ και περιττή συνάρτηση $h: \mathbb R \rightarrow \mathbb R$ , τέτοιες ώστε .

Ισχύει το ίδιο για περιττές ;

Σχόλιο: Η άσκηση είναι απλή. Ίσως φοβίζει κάποιον που τώρα μαθαίνει για συναρτήσεις, αλλά στην πραγματικότητα το Μαθηματικό της περιεχόμενο είναι ρηχό.

Ας την αφήσουμε ώρες για τους μαθητές μας.
Καλημέρα και καλό μήνα!

Θέτουμε και για κάθε $x\in \mathbb{R}$ . Τότε η είναι άρτια, η είναι περιττή, και ισχύει

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ .

Γενικά, εάν η είναι άρτια και η περιττή, τότε για τη συνάρτηση με έχουμε

,

για κάθε $x\in \mathbb{R}$ δηλ. η είναι άρτια.

Φιλικά,

Αχιλλέας

Καλημέρα. Καλό μήνα, με υγεία σε όλους !
Μια προσπάθεια για το δεύτερο υποερώτημα.
Έστω

:περιττή για την οποία ισχύει: g(h(x))+h(g(x))=g(x)+g(x)=2g(x)=f(x)

(1) για κάθε $x\in \mathbb{R}$ ,με

:άρτια και

: περιττή.
Είναι f(-x)=-f(x)

, $\forall x\in \mathbb{R}$ $\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ g(h(-x))+h(g(-x))=-f(x)

$\Leftrightarrow$ (επειδή

:άρτια και

: περιττή)
$\Leftrightarrow$ g(-h(x))+h(g(x))=-f(x)

$\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ g(h(x))+h(g(x))=-f(x)

$\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ f(x)=-f(x)

$\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow$ f(x)=0

.
Άτοπο επειδή θέλουμε η (1) να ισχύει για κάθε περιττή.
Συνεπώς η (1) δεν ισχύει για τις περιττές.
Φιλικά
Σταμ. Γλάρος

#4

Αυτά είχα κατά νου.

Ο λόγος που έγραψα την φράση "στην πραγματικότητα το Μαθηματικό της περιεχόμενο είναι ρηχό" είναι ακριβώς γιατί μπορούμε
να πάρουμε h(x)=x

.

Άρτιες συναρτήσεις

Άρτιες συναρτήσεις

Re: Άρτιες συναρτήσεις

Re: Άρτιες συναρτήσεις

Re: Άρτιες συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση