Γενίκευση Ολοκληρωμάτων Fresnel.

Ωmega Man · #1

Να δειχθεί ότι για $\displaystyle{\bf a>1}$ ,

$\displaystyle{\colorbox{cyan}{\boxed{\bf \int_{0}^{+\infty}\sin(x^a)\;\mathsf{d}x=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{a}\right)\cdot\sin\left(\frac{\pi}{2a}\right)}{a}}}$

Ωmega Man · #2

Το ανεβάζω με επιφύλαξη μένει το υπολογιστικό κομμάτι......

Ωmega Man · #3

Ακολουθώντας την διαπραγμάτευση του παραπάνω pdf καταλήξαμε στην ισότητα,
$\displaystyle{\bf \int_{0}^{+\infty}\cos(x^a)\;dx+i\int_{0}^{+\infty}\sin(x^a)\;dx=\int_{0}^{+\infty}e^{i\cdot \left(te^{\pi i /4}\right)^a}\cdot e^{\pi i /4}\;dt}$ $\color{red}\left(\dagger\right)$ .

Ας υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα του δεξιού μέλους θέτοντας $\displaystyle{\bf\left(t\cdot e^{\pi i /4}\right)^a=u\Rightarrow t=u^{\frac{1}{a}}e^{-\frac{\pi i}{4}}\Rightarrow dt=\frac{1}{a}u^{\frac{1}{a}-1}e^{-\frac{\pi i }{4}}}$
Με την αντικατάσταση αυτή το ολοκλήρωμα γίνεται $\displaystyle{\bf \frac{1}{a}\int_{0}^{+\infty}e^{iu}u^{\frac{1}{a}-1}\;du}$ και εν συνεχεία με αντικατάσταση $\displaystyle{\bf u=iz}$ έχουμε $\displaystyle{\bf\frac{i}{a}\int_{0}^{+\infty}e^{-z}(i z)^{\frac{1}{a}-1}\;dz=\frac{i}{a}\int_{0}^{+\infty}e^{-z}(i )^{\frac{1}{a}-1}(z)^{\frac{1}{a}-1}\;dz}$ . Το $\displaystyle\bf (i)^{\frac{1}{a}-1}=e^{\frac{\pi}{2}\left(\frac{1}{a}-1\right)i}=-ie^{\frac{\pi}{2a}i}$ . Με βάση τα παραπάνω λοιπόν το ολοκλήρωμα γίνεται,
$\displaystyle \bf \frac{e^{\frac{\pi}{2a}i}}{a}\int_{0}^{+\infty}e^{-z}(z)^{\frac{1}{a}-1}\;dz=\frac{e^{\frac{\pi}{2a}i}}{a}\Gamma\left(\frac{1}{a}\right)$ και επιτέλους το τελευταίο κάνει $\displaystyle\bf \frac{\Gamma\left(\frac{1}{a}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2a}\right)}{a}+i\frac{\Gamma\left(\frac{1}{a}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2a}\right)}{a}$ . Έτσι λοιπόν εξισώνοντας πραγματικά και φανταστικά μέρη στην $\color{red} (\dagger)$ παίρνουμε και κάτι παραπάνω από το ζητούμενο. Καταλήγουμε δηλαδή στο,
$\colorbox{orange}{\boxed{\bf\color{white}\int_{0}^{+\infty}\sin(x^a)\;dx=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{a}\right)\sin\left(\frac{\pi}{2a}\right)}{a}}}$ και όμοια $\colorbox{orange}{\boxed{\bf\color{white}\int_{0}^{+\infty}\cos(x^a)\;dx=\frac{\Gamma\left(\frac{1}{a}\right)\cos\left(\frac{\pi}{2a}\right)}{a}}}$ .

Γενίκευση Ολοκληρωμάτων Fresnel.

Γενίκευση Ολοκληρωμάτων Fresnel.

Re: Γενίκευση Ολοκληρωμάτων Fresnel.

Re: Γενίκευση Ολοκληρωμάτων Fresnel.

Μέλη σε σύνδεση