Γιατί τέμνονται;

[Al.Koutsouridis]

Στο σχολικό μας βιβλίο στην εισαγωγή του κεφαλαίου "Παραλληλόγραμμα-Τραπέζια" αναφέρει:

Κάθε κυρτό τετράπλευρο έχει δύο διαγωνίους και , οι οποίες τέμνονται σε εσωτερικό σημείο τους.

Αποδείξτε το.

[Γιώργος Ρίζος]

Στο σχολικό μας βιβλίο στην εισαγωγή του κεφαλαίου "Παραλληλόγραμμα-Τραπέζια" αναφέρει:

Κάθε κυρτό τετράπλευρο έχει δύο διαγωνίους και , οι οποίες τέμνονται σε εσωτερικό σημείο τους.

Αποδείξτε το.

Καλησπέρα. Επιχειρώ μια αιτιολόγηση βασισμένη στους ορισμούς των εννοιών από παλαιότερα σχολικά βιβλία.

15-11-2020 Γεωμετρία b.png (21.72 KiB) Προβλήθηκε 1561 φορές

Κάθε σχήμα που έχει την ιδιότητα να περιέχει το τμήμα με άκρα δύο οποιαδήποτε σημεία του λέγεται κυρτό χωρίο.

Η γωνία είναι κυρτή, άρα κυρτό χωρίο, οπότε περιέχει ολόκληρη τη διαγώνιο , αφού τα είναι σημεία των πλευρών της.
Το βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας , άρα και η ημιευθεία περιέχεται στην . Άρα τέμνει το τμήμα .

To ίδιο συμβαίνει και για τη γωνία , οπότε και η ημιευθεία τέμνει το τμήμα . Έτσι, το σημείο τομής των είναι εσωτερικό του πολυγώνου, αφού εσωτερικό του πολυγώνου ονομάζουμε την τομή των κοινών εσωτερικών σημείων των γωνιών του.

edit: Ισχύει και το αντίστροφο: Για να είναι κυρτό ένα τετράπλευρο αρκεί οι διαγώνιοι του να τέμνονται. (Αφού αναφερόμαστε σε ευθύγραμμα τμήματα θεωρείτε ότι είναι αναγκαίο να προσθέτουμε την επεξήγηση: "...σε εσωτερικό τους σημείο;")

[Al.Koutsouridis]

Καλησπέρα. Επιχειρώ μια αιτιολόγηση βασισμένη στους ορισμούς των εννοιών από παλαιότερα σχολικά βιβλία.


15-11-2020 Γεωμετρία b.png


Κάθε σχήμα που έχει την ιδιότητα να περιέχει το τμήμα με άκρα δύο οποιαδήποτε σημεία του λέγεται κυρτό χωρίο.

Η γωνία είναι κυρτή, άρα κυρτό χωρίο, οπότε περιέχει ολόκληρη τη διαγώνιο , αφού τα είναι σημεία των πλευρών της.

Έστω ότι έχει δοθεί ο ορισμός της κυρτότητας όπως παραπάνω. Τι θα απαντούσαμε σε έναν ανήσυχο μαθητή που θα ρωτούσε πως προκύπτει η παρακάτω συνεπαγωγή.

Το βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας , άρα και η ημιευθεία περιέχεται στην . Άρα τέμνει το τμήμα .

[Γιώργος Ρίζος]

Έστω ότι έχει δοθεί ο ορισμός της κυρτότητας όπως παραπάνω. Τι θα απαντούσαμε σε έναν ανήσυχο μαθητή που θα ρωτούσε πως προκύπτει η παρακάτω συνεπαγωγή.

Το βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας , άρα και η ημιευθεία περιέχεται στην . Άρα τέμνει το τμήμα .

Καλημέρα και πάλι στον Αλέξανδρο και σε όποιον φίλο διαβάσει τη συζήτηση.

Επιχειρώ μια αιτιολόγηση στο ερώτημα, ευελπιστώντας να συναντήσω κάποτε τον ανήσυχο μαθητή του Αλέξανδρου, εφόσον τέτοιες συζητήσεις δίνουν το ερέθισμα να μελετάμε σε μεγαλύτερο βάθος!

Να σημειώσω αρχικά, ότι εντόπισα σε παλιά σχολικά βιβλία, με αυστηρή αξιωματική θεμελίωση των εννοιών, την αρχική απόδειξη και με άλλη παραπλήσια μέθοδο, όπου το νέο ερώτημα του Αλέξανδρου προσπερνάται ως αυτονόητο. Λεπτομέρειες σε προσεχή ανάρτηση, για να μη χαλάσω το ενδιαφέρον όποιου θα ήθελε (μακάρι!) να ασχοληθεί.

15-11-2020 Γεωμετρία b.png (21.72 KiB) Προβλήθηκε 1379 φορές

Εσωτερικό σημείο πολυγώνου λέγεται κάθε σημείο του επιπέδου για το οποίο κάθε ευθεία διερχόμενη απ’ αυτό τέμνει το πολύγωνο σε δύο σημεία του.

Θα αποδείξουμε ότι σε κυρτό τετράπλευρο οι διαγώνιοι τέμνονται σε σημείο εσωτερικό αυτού.

Όπως είδαμε,(*) κάθε εσωτερικό σημείο διαγώνιου κυρτού πολυγώνου βρίσκεται στο εσωτερικό του πολυγώνου. Άρα οι δεν μπορεί να τέμνονται σε εξωτερικό σημείο του πολυγώνου, ούτε, βεβαίως, επί του πολυγώνου, αφού τα είναι διακριτά σημεία. Άρα, είτε τέμνονται στο εσωτερικό του, είτε είναι παράλληλες.

(*) Εννοώ στην αρχική ανάρτηση. Η απόδειξη υπάρχει σε κάθε Γεωμετρία με αξιωματική ανάπτυξη της ύλης. Αν χρειαστεί, για λόγους πληρότητας, να το προσθέσω κι εδώ.

Έστω , οπότε , όπου η ευθεία που ορίζουν τα .

Tο ημιεπίπεδο (δηλαδή το ημιεπίπεδο με «σύνορο» την που περιέχει το ) θα περιέχει ολόκληρη τη διαγώνιο άρα και κάθε εσωτερικό σημείο των . Αυτό είναι άτοπο, αφού τότε η διαγώνιος δεν είναι εσωτερική του . Άρα οι τέμνονται σε εσωτερικό σημείο του .

[george visvikis]

Έστω ότι έχει δοθεί ο ορισμός της κυρτότητας όπως παραπάνω. Τι θα απαντούσαμε σε έναν ανήσυχο μαθητή που θα ρωτούσε πως προκύπτει η παρακάτω συνεπαγωγή.

Το βρίσκεται στο εσωτερικό της γωνίας , άρα και η ημιευθεία περιέχεται στην . Άρα τέμνει το τμήμα .

Καλησπέρα!

Θα χρειαστώ το αξίωμα του Pasch: Αν μία ευθεία τέμνει μία πλευρά τριγώνου, τότε θα τέμνει άλλη μία πλευρά

και ή θα είναι παράλληλη στην τρίτη πλευρά του ή θα τέμνει την προέκταση της.

Γιατί τέμνονται;.png (8.48 KiB) Προβλήθηκε 1340 φορές

Στο ερώτημά μας τώρα. Θεωρώ σημείο στην προέκταση του προς το Σύμφωνα με το παραπάνω αξίωμα,

αφού η τέμνει την πλευρά του τριγώνου τότε θα τέμνει τη ή την Αλλά τα σημεία

είναι εκατέρωθεν της και όλα τα σημεία του τμήματος και του είναι εκατέρωθεν της Άρα, τα

τμήματα δεν μπορεί να τέμνονται, οπότε η τέμνει τη

[Al.Koutsouridis]

Καλησπέρα!

Θα χρειαστώ το αξίωμα του Pasch: Αν μία ευθεία τέμνει μία πλευρά τριγώνου, τότε θα τέμνει άλλη μία πλευρά

και ή θα είναι παράλληλη στην τρίτη πλευρά του ή θα τέμνει την προέκταση της.
Γιατί τέμνονται;.png
Στο ερώτημά μας τώρα. Θεωρώ σημείο στην προέκταση του προς το Σύμφωνα με το παραπάνω αξίωμα,

αφού η τέμνει την πλευρά του τριγώνου τότε θα τέμνει τη ή την Αλλά τα σημεία

είναι εκατέρωθεν της και όλα τα σημεία του τμήματος και του είναι εκατέρωθεν της Άρα, τα

τμήματα δεν μπορεί να τέμνονται, οπότε η τέμνει τη

Καλησπέρα! Ευαριστώ τους κ.Ρίζο και Βισβίκη για την ενασχόληση με το θέμα.

Αυτό είχα και εγώ υπόψη. Για την πλήρη δικαιολόγηση πρέπει να δείξουμε ότι η ημιευθεία είναι αυτή που τέμνει το τμήμα και όχι η αντικείμενή της. Γιατί το αξίωμα του Pasch μιλάει για ευθεία.

[Γιώργος Ρίζος]

Kαλησπέρα σε όλους. Το βιβλίο που αναφέρω παραπάνω είναι η Σχολική Γεωμετρία του Σπ. Κανέλλου, 1976 Α Λυκείου Θετικής κατεύθυνσης, (σ. 33)

Εκεί, παρατηρήστε πως θεωρείται προφανές ότι το σημείο τομής είναι εσωτερικό.

Η απόδειξη που διατύπωσα, δεν υπάρχει κάπου, άρα επιφυλάσσομαι για τυχόν ατέλειες ή και σφάλματα. Τίθεται στην κρίση σας.

Κανέλλος Γεωμετρία 1976 Α Πρακτικού Λυκείου.jpg (139.72 KiB) Προβλήθηκε 1311 φορές

(Για λίγο δεν την πρόλαβα... Για να καταλάβετε, ανήκω στη γενιά που θα κάνει το εμβόλιο της Astra Zeneca, (όταν δεήσει...).

[george visvikis]

Καλησπέρα! Ευαριστώ τους κ.Ρίζο και Βισβίκη για την ενασχόληση με το θέμα.

Αυτό είχα και εγώ υπόψη. Για την πλήρη δικαιολόγηση πρέπει να δείξουμε ότι η ημιευθεία είναι αυτή που τέμνει το τμήμα και όχι η αντικείμενή της. Γιατί το αξίωμα του Pasch μιλάει για ευθεία.

Γιατί τέμνονται;β.png (8.91 KiB) Προβλήθηκε 1303 φορές

Η αντικείμενη ημιευθεία δεν μπορεί να τέμνει κανένα από τα τμήματα γιατί βρίσκεται σε διαφορετικό ημιεπίπεδο της απ' ότι αυτά.