Βρείτε τη γωνία χ

thry · #1

$AB=CD,m\angle A=100,m\angle C=20$

: WhatsApp Image 2020-11-26 at 6.50.42 PM.jpeg (44.13 KiB) Προβλήθηκε 1524 φορές

#2

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Στην προέκταση της

θεωρώ σημείο

ώστε

και κατασκευάζω το ισόπλευρο BCE

όπως φαίνεται στο σχήμα.

: Γωνία χ.png (19.13 KiB) Προβλήθηκε 1462 φορές

Είναι $\displaystyle CF = CB = CE \Leftrightarrow C\widehat FE = C\widehat EF = 70^\circ \Rightarrow B\widehat EF = 10^\circ$

Από το ισοσκελές BFA

είναι $\displaystyle A\widehat BF = 20^\circ,$ οπότε τα τρίγωνα BFE, DCB

είναι ίσα και $\boxed{x=10^\circ}$

Manolis Petrakis · #4

: 20201127_174730.jpg (43.78 KiB) Προβλήθηκε 1416 φορές

Θεωρούμε το σημείο

της πλευράς

τέτοιο ώστε $\angle D'BC=10^{\circ}$
Έτσι από νόμο ημιτόνων στό BD'C

είναι $\dfrac{BD'}{D'C}=\dfrac{\sin 20^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}=2\cos 10^{\circ} (1)$
Από νόμο ημιτόνων στο BD'A

είναι:
$\dfrac{BD'}{AB}=\dfrac{\sin 100^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}=2\cos 10^{\circ} (2)$
Από τις (1),(2)

παίρνουμε $AB=CD'\Leftrightarrow CD=CD'$ .
Έτσι τα D,D'

ταυτίζονται και η $x=\angle DBC$ ισούται με $10^{\circ}$

#5

Η άσκηση έχει ξανατεθεί στο

και όπως τώρα εδόθη γεωμετρική λύση ( νομίζω πάλι από το φίλο μου το Γιώργο )

αλλά και τριγωνομετρική λύση αλλά όχι σαν του Μανώλη

Πάντως και οι δύο πιο πάνω λύσεις είναι πολύ ωραίες

Έχω μια γεωμετρική σε άλλο πνεύμα από το Γιώργο και θα ανεβεί αργότερα( αν δεν με προλάβει κάποιος άλλος )

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

thry έγραψε: Πέμ Νοέμ 26, 2020 11:50 pm $AB=CD,m\angle A=100,m\angle C=20$

WhatsApp Image 2020-11-26 at 6.50.42 PM.jpeg

Σχηματίζουμε το ισοσκελές $\triangle ACE$ και το ισόπλευρο DCP

.

Τότε , AE=AB=DC=CP

και $\angle EAC= \angle ACP=80^0$ ,άρα AEPC

ισοσκελές τραπέζιο ,

συνεπώς AP=EC=AC

και $\angle PAC=20^0$

Επομένως

μεσοκάθετος της

οπότε $\angle DAC=10^0$

: Εύρεση γωνίας.png (16.53 KiB) Προβλήθηκε 1383 φορές

Γιώργος Μήτσιος · #7

Καλό βράδυ σε όλους!

: Γωνία χ.png (98.28 KiB) Προβλήθηκε 1362 φορές

Είναι $\widehat{ABC}=60^o$ . Σχηματίζω το ισόπλευρο ABE

. Στο τρίγωνο AEC

έχουμε $\widehat{EAC}=2\widehat{C}$ και DC=AE

επομένως όπως ΕΔΩ προκύπτει ED=DC=AE=BE

. Φανερό πλέον ότι $2x=20^o \Rightarrow x=10^o$ .

Φιλικά, Γιώργος.

thry · #8

Excellent work, beautiful solutions,
thank you and I apologize, I am not good at Greek

#9

: βρείτε τη γωνία χ_Μακρινός Θεματοδότης.png (32.34 KiB) Προβλήθηκε 1253 φορές

Ο κύκλος $\left( {B,BC} \right)$ τέμνει την ευθεία

, ακόμα στο

.

Τα ισοσκελή $\vartriangle BEC \to \left( {140^\circ ,20^\circ ,20^\circ } \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle EAB \to \left( {20^\circ ,80^\circ ,80^\circ } \right)$ .

Κατασκευάζω ίσο με το , $\vartriangle EAB$ , ισοσκελές $\vartriangle FDC$ με το

προς τη μεριά του

.

Αβίαστα προκύπτουν ότι: Το $\vartriangle FBC$ είναι ισόπλευρο κι αφού : FB = FD = FC

το περίκεντρό του, DBC

είναι το

.

Η εγγεγραμμένη γωνία $\boxed{\widehat {{x_{}}} = \frac{1}{2}\widehat {DFC} = 10^\circ }$ .

Έχω κι άλλη μία , ίσως πιο βράδυ .

#10

Έστω

το σημείο τομής της

με τη μεσοκάθετο στο

. Άμεσες συνέπειες:

α) Το $\vartriangle EBC$ είναι ισοσκελές με γωνίες στη βάση του

από $20^\circ$

β) Αφού $\widehat {ABC} = 60^\circ$ , είναι και το $\vartriangle ABE$ ισοσκελές με γωνίες στη βάση του από $40^\circ$ .

γ) $\boxed{BE = EC = AD}$

Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο , KDC

( το

στη μεριά του

) και τον κύκλο $\left( {K,m} \right)$ , όπου m = BA = AE = DC = CK = KD

Θεωρώ και τη χορδή

αυτού του κύκλου ( η

δεν έχει κοινό σημείο με το $\vartriangle KAC$ ) και $\boxed{CZ = BE}$ .

: Να βρεθεί η κόκκινη γωνία_new.png (42.75 KiB) Προβλήθηκε 1212 φορές

Άρα $\vartriangle ABE = \vartriangle KEZ \Rightarrow \widehat {{\phi _{}}} = 40^\circ \Rightarrow \widehat {DCZ} = 60^\circ + 40^\circ = 100^\circ \Rightarrow \vartriangle BAD = \vartriangle DCZ \Rightarrow \widehat {{\omega _{}}} = \widehat {{\theta _{}}}$

Αλλά $\boxed{\widehat {{\theta _{}}} = \frac{1}{2}\widehat {{K_{}}} = 30^\circ }$ , άρα και η $\widehat {{\omega _{}}}$ που είναι εξωτερική στο $\vartriangle BDC$ έχει μέτρο

$30^\circ$ οπότε $\widehat {{x_{}}} + 20^\circ = 30^\circ \Rightarrow \boxed{\widehat {{x_{}}} = 10^\circ }$ .

Βρείτε τη γωνία χ

Βρείτε τη γωνία χ

Re: Βρείτε τη γωνία χ

Re: Βρείτε τη γωνία χ

Re: Βρείτε τη γωνία χ

Re: Βρείτε τη γωνία χ

Re: Βρείτε τη γωνία χ

Re: Βρείτε τη γωνία χ

Re: Βρείτε τη γωνία χ

Re: Βρείτε τη γωνία χ

Re: Βρείτε τη γωνία χ

Μέλη σε σύνδεση