Τελευταίο ψηφίο

#1

Μια αφιέρωση στα νεαρά μέλη μας aggeliki 260807 και Filippos Athos , που με χαρά βλέπω ότι ασχολούνται με διαγωνιστικά μαθηματικά:

Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού $\displaystyle{7^{3^{22}}}$ .

Filippos Athos · #2

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Κυρ Νοέμ 29, 2020 8:57 pm Μια αφιέρωση στα νεαρά μέλη μας aggeliki 260807 και Filippos Athos , που με χαρά βλέπω ότι ασχολούνται με διαγωνιστικά μαθηματικά:

Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού $\displaystyle{7^{3^{22}}}$ .

Ευχαριστώ για την αφιέρωση!

Θα δώσω την πρώτη λύση που μου ήρθε στο μυαλό χρησιμοποιώντας την συνάρτηση του Όιλερ (εκτός φακέλου).

Εξετάζουμε mod 10

Προφανώς $\varphi (10)=4$ άρα επειδή $3^{22}\equiv (-1)^{22}\equiv 1mod4$ ο αριθμός τελειώνει σε

#3

Filippos Athos έγραψε: Κυρ Νοέμ 29, 2020 10:20 pm
ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Κυρ Νοέμ 29, 2020 8:57 pm Μια αφιέρωση στα νεαρά μέλη μας aggeliki 260807 και Filippos Athos , που με χαρά βλέπω ότι ασχολούνται με διαγωνιστικά μαθηματικά:

Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού $\displaystyle{7^{3^{22}}}$ .

Ευχαριστώ για την αφιέρωση!

Θα δώσω την πρώτη λύση που μου ήρθε στο μυαλό χρησιμοποιώντας την συνάρτηση του Όιλερ (εκτός φακέλου).

Εξετάζουμε

Προφανώς $\varphi (10)=4$ άρα επειδή $3^{22}\equiv (-1)^{22}\equiv 1mod4$ ο αριθμός τελειώνει σε

Φίλιππα, συγχαρητήρια για το επίπεδο της γνώσης σου!!! (Αν δεν κάνω λάθος είσαι μαθητής της Γ Γυμνασίου).

Μπορούμε να την λύσουμε και χωρίς την συνάρτηση του Euler και χωρίς ισοτιμίες (mod).

aggeliki260807 · #4

ένα ευχαριστώ και απο εμένα για την αφιέρωση
$7^{3^{22}}$ γράφεται και ως $7^{9^{11}}$ ο $9^{11}$ λήγει σε

εξαιτίας της περιοδικότητας του
άρα έχουμε την εξής δύναμη $7^{\overline{abcd...9}}$ που λήγει σε $7^{9}$ είναι χρονοβόρο να κάνουμε τις πράξεις για αυτο σκέφτηκα oti o $7^{9}\Leftrightarrow \left ( 7^{3} \right )^{3}$ με εύκολες πράξεις έχουμε $7^{3}=343$ άρα $7^{9}=343*343*343$ χωρίς να τα υπολογίσω έχω οτι το τελευταίο τους ψηφίο θα είναι το

γιατί $3^{3}=27$

#5

aggeliki260807 έγραψε: Δευ Νοέμ 30, 2020 11:05 am $7^{\overline{abcd...9}}$ που λήγει σε $7^{9}$

Αγγελική, για ξαναδές τα αυτά.

Πες για παράδειγμα ότι ο $7^{\overline{abcd...9}}$ ήταν ο $7^{19}$ . Τι ακριβώς εννοείς όταν λες ότι ο $7^{19}$ λήγει σε 7^9

;

Filippos Athos · #6

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΙΩΑΝΝΟΥ έγραψε: Κυρ Νοέμ 29, 2020 8:57 pm Μια αφιέρωση στα νεαρά μέλη μας aggeliki 260807 και Filippos Athos , που με χαρά βλέπω ότι ασχολούνται με διαγωνιστικά μαθηματικά:

Να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού $\displaystyle{7^{3^{22}}}$ .

Αλλη μία

παρατηρούμε ότι υπάρχει περιοδικότητα στις δυνάμεις του

.

το $7^{x}$ τελειώνει σε

αν ο

είναι της μορφής 4k+1

αν ο

είναι της μορφής 4k+2

αν ο

είναι της μορφής 4k+3

αν ο

είναι της μορφής 4k+4

Θα αποδείξουμε ότι ο αριθμός $3^{22}$ είναι της μορφής 4k+1

δηλαδή ότι

$4k=3^{22}-1$

αλλά ο αριθμός $3^{22}-1$ είναι πολλαπλάσιο του

καθώς $3^{22}-1=(3-1)(3^{21}+3^{20}+....+1)=2\cdot artios$

Άρα ο αριθμός τελειώνει σε

#7

Filippos Athos έγραψε: Δευ Νοέμ 30, 2020 6:20 pm
αλλά ο αριθμός $3^{22}-1$ είναι πολλαπλάσιο του καθώς $3^{22}-1=(3-1)(3^{21}+3^{20}+....+1)=2\cdot artios$

Ας το δούμε και ελάχιστα αλλιώς:

$3^{22}-1= 9^{11}-1=(9-1)(9^{10}+3^{9}+....+1)=8K$

#8

Καλό βράδυ αγαπητέ φίλε Μιχάλη. Βλέπουμε πόσο μεράκι για μάθηση έχουν μικροί μαθητές και αυτό μας κάνει ιδιαίτερα αισιόδοξους και χαρούμενους.

Γράφω ακόμα μια λύση ελάχιστα διαφορετική:

$\displaystyle{7^{3^{22}} = 7^{3^{22} - 1} . 7 = 7.[7^{(3+1)(3^{21} - 3^{20} + . . . + 3 -1)}] = }$

$\displaystyle{7 . 7 ^{4n} = 7 . (7^{4})^{n}}$ .

Αλλά ο αριθμός $\displaystyle{7^{4}}$ λήγει σε $\displaystyle{1}$ και άρα οποιαδήποτε δύναμη με βάση αυτόν τον αριθμό θα λήγει επίσης σε $\displaystyle{1}$

Συνεπώς ο $\displaystyle{(7^{4})^{n}}$ λήγει σε $\displaystyle{1}$ και άρα ο $\displaystyle{7.(7^{4})^{n}}$ λήγει σε $\displaystyle{7}$ .

ΣΗΜΕΙΩΣΗ (για τους μαθητές Γυμνασίου που ασχολούνται με διαγωνισμούς):

(1) Για κάθε $\displaystyle{v}$ θετικό ακέραιο, ισχύει η ταυτότητα: $\displaystyle{a^{v} - b^{v} = (a-b)(a^{v-1}+a^{v-2}.b +a^{v-3}.b^2 + . . . +a.b^{v-2}+b^{v-1})}$

(2) Αν ο θετικός ακέραιος $\displaystyle{v}$ είναι άρτιος, τότε επί πλέον ισχύει και η εξής ταυτότητα:

$\displaystyle{a^{v}-b^{v}=(a+b)(a^{v-1}-a^{v-2}.b+a^{v-3}.b^{2}- . . . +a.b^{v-2}-b^{v-1})}$

Τελευταίο ψηφίο

Τελευταίο ψηφίο

Re: Τελευταίο ψηφίο

Re: Τελευταίο ψηφίο

Re: Τελευταίο ψηφίο

Re: Τελευταίο ψηφίο

Re: Τελευταίο ψηφίο

Re: Τελευταίο ψηφίο

Re: Τελευταίο ψηφίο

Μέλη σε σύνδεση