Διοφαντική Εξίσωση

Joaakim · #1

Καλησπέρα σας!
Να προσδιορίσετε όλες τις τριάδες φυσικών αριθμών (a , b , c)

, οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση
a^b + 1 = c^2

Τσιαλας Νικολαος · #2

Καλησπερα! Είναι άμεσο από το θεώρημα mihailescu (εικασία catalan) συν κάποια μικρή περιπτωσολογία!

Υ. Γ: κατά λάθος έχετε βάλει 3 φορές το ίδιο θέμα! Αν θέλετε σβήστε τα αλλά 2. Καλωσήρθατε στο forum μας

llenny · #3

Ξέρουμε αν η άσκηση έχει κάποια στοιχειώδης λύση;

Joaakim · #4

llenny έγραψε: Πέμ Δεκ 10, 2020 12:45 pm Ξέρουμε αν η άσκηση έχει κάποια στοιχειώδης λύση;

Οι λύσεις της είναι ( a, b, c) = ( 2, 3, 3), ( 3, 1, 2)

. Προσπαθώ να ανεβάσω την λύση μου αλλά επείδη δεν γνωρίζω Latex καλά, θα αργήσω λίγο.

Τσιαλας Νικολαος · #5

llenny έγραψε: Πέμ Δεκ 10, 2020 12:45 pm Ξέρουμε αν η άσκηση έχει κάποια στοιχειώδης λύση;

Υπάρχουν άπειρες λύσεις! Μάλλον κάτι διαφεύγει στον καινούριο μας φίλο!

llenny · #6

Κι εγώ αυτό βλέπω, πχ. για b = 1

είναι προφανές πως έχουμε άπειρα ζεύγη (c,a)

που την ικανοποιούν. Εννοούσα λύση με στοιχειώδη εργαλεία.

Joaakim · #7

Τσιαλας Νικολαος έγραψε: Πέμ Δεκ 10, 2020 1:08 pm
llenny έγραψε: Πέμ Δεκ 10, 2020 12:45 pm Ξέρουμε αν η άσκηση έχει κάποια στοιχειώδης λύση;
Υπάρχουν άπειρες λύσεις! Μάλλον κάτι διαφεύγει στον καινούριο μας φίλο!

Έχετε δίκιο, λογικά αυτό συμβαίνει. Σας ευχαριστώ για τη διευκρίνιση!

bouzoukman · #8

Νομίζω ότι πρέπει να θεωρήσουμε την περίπτωση b>1

.

Τσιαλας Νικολαος · #9

bouzoukman έγραψε: Πέμ Δεκ 10, 2020 1:37 pm Νομίζω ότι πρέπει να θεωρήσουμε την περίπτωση .

Δεν έχει νόημα γιατί τότε η λύση γίνεται: Από θ. Μihailescu οι λύσεις είναι (2,3,3)

και

miltosk · #10

llenny έγραψε: Πέμ Δεκ 10, 2020 12:45 pm Ξέρουμε αν η άσκηση έχει κάποια στοιχειώδης λύση;

Καλησπέρα. Για να αποφύγουμε εικασία Catalan:
Προσπάθησε αυτό:
Αν b=1

, άπειρες λύσεις.
Αλλιώς:
$a^b+1=c^2\Leftrightarrow a^b=(c-1)(c+1)$
Τώρα αν

άρτιος τότε (βρες το γιατι)
c-1=x_1^b, c+1=x_2^b

Άρα

.
Άρα $x_1>x_2\Rightarrow x_1\geq x_2+1$ και συνεχίζεις...
Αντίστοιχα (με μια μικρή διαφορά) αν

περιττός.

Joaakim · #11

Λοιπόν μήπως να δούμε την άσκηση για

πρώτο αριθμό (για να το σώσω λίγο

…)

llenny · #12

Συμβολίζω το

με

. Έχουμε: $p^b + 1 = c^2 \Leftrightarrow p^b = c^2 - 1 \Leftrightarrow p^b = (c - 1)(c + 1)$ . Όμως το

είναι πρώτος άρα αναγκαστικά έχουμε: $p^m = c - 1 \Leftrightarrow -p^m = -c + 1$ και p^n = c + 1

όπου

. Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις και παίρνουμε: $p^n - p^m = 2 \Leftrightarrow p^m(p^{n - m} - 1) = 2$ . Άρα είναι: p^m = 1

και $p^{n - m} - 1 = 2$ , δηλαδή: m = 0

(αλλιώς δε θα ικανοποιούταν η δεύτερη μας εξίσωση λόγω του ότι θα είχαμε p = 1

.) και $p^n = 3 \Leftrightarrow p = 3$ , n = 1

. Άρα

ή $p^m = 2 \Leftrightarrow p =2$ και m =1

και $2^{n - 1} = 2 \Leftrightarrow n = 2$ , άρα έχουμε τη τριάδα (p,b,c) = (2,3,3)

Joaakim · #13

llenny έγραψε: Τρί Δεκ 29, 2020 8:20 pm Συμβολίζω το με . Έχουμε: $p^b + 1 = c^2 \Leftrightarrow p^b = c^2 - 1 \Leftrightarrow p^b = (c - 1)(c + 1)$ . Όμως το είναι πρώτος άρα αναγκαστικά έχουμε: $p^m = c - 1 \Leftrightarrow -p^m = -c + 1$ και όπου . Προσθέτουμε κατά μέλη τις δύο σχέσεις και παίρνουμε: $p^n - p^m = 2 \Leftrightarrow p^m(p^{n - m} - 1) = 2$ . Άρα είναι: και $p^{n - m} - 1 = 2$ , δηλαδή: (αλλιώς δε θα ικανοποιούταν η δεύτερη μας εξίσωση λόγω του ότι θα είχαμε .) και $p^n = 3 \Leftrightarrow p = 3$ , . Άρα ή $p^m = 2 \Leftrightarrow p =2$ και και $2^{n - 1} = 2 \Leftrightarrow n = 2$ , άρα έχουμε τη τριάδα

Εξαιρετικά! Ακριβώς την ίδια λύση είχα στο μυαλό μου!

Διοφαντική Εξίσωση

Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Re: Διοφαντική Εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση