Πάλι με την Cauchy αλλά με παράγουσα !

[Μπάμπης Στεργίου]

Αν η συνάρτηση f με την ιδιότητα έχει αρχική, τότε αυτή είναι της μορφής

ΣΧΟΛΙΟ

Εϊχα την εντύπωση ότι την είχα λυμένη στο αρχείο μου , αλλά δεν την βρίσκω. Τη βλέπω πάλι προτεινόμενη σε ένα ξένο περιοδικό . Νομίζω αξίζει να την μαζέψουμε .

Μπάμπης

[Demetres]

Υποθέτω ως γνωστό ότι f(qx) = qf(x) για κάθε ρητό q

Eπειδή f(q)/q = f(1) για κάθε ρητό q=/=0, έχουμε f'(0) = f(1). Για κάθε χ=/=0 και ε>0 υπάρχει ακέραιος n ώστε . Αλλά , άρα και επειδή ε τυχαίο, παίρνουμε f(x) = f(1)x.

Παρατήρηση: Χρησιμοποίησα μόνο ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο 0

[Μπάμπης Στεργίου]

Αν η συνάρτηση f με την ιδιότητα έχει αρχική, τότε αυτή είναι της μορφής

ΣΧΟΛΙΟ

Εϊχα την εντύπωση ότι την είχα λυμένη στο αρχείο μου , αλλά δεν την βρίσκω. Τη βλέπω πάλι προτεινόμενη σε ένα ξένο περιοδικό . Νομίζω αξίζει να την μαζέψουμε .

Μπάμπης

Με αφορμή μια άλλη άσκηση που συζητάμε στην Γ΄κατεύθυνση είδα ότι στο βιβλίο μου Ανάλυση 3 (1998) στη σελίδα 257 (εξεντλημένο)έχω μια προσέγγιση. Την είχα παντελώς ξεχάσει . θα παρακαλέσω κάποιον που έχει το βιβλίο να μας δώσει μια υπόδειξη, ώστε να εμπλουτιστέι το θέμα με σχολική λύση.

[xr.tsif]

Μπάμπη καλησπέρα
Η εκφώνηση της άσκησης είναι
Δίνεται συνάρτηση f:R στο R με f(1) = 2000 και f(x+ψ) = f(x) + f(ψ) για κάθε x,ψ στο R.Έστω ότι η f δέχεται αρχική και F είναι μία αρχική της. Να αποδείξετε:
i) Η συνάρτηση g(x) = F(x+ψ) - F(x) - xf(ψ) + F(0) - F(ψ) , με x στο R είναι σταθερή για κάθε ψ στο R και να βρεθεί η τιμή της.
ii) η f(x) = 2000x για κάθε x στο R.
Χρήστος Τσιφάκης
xr. tsif

[Μπάμπης Στεργίου]

Μπάμπη καλησπέρα
Η εκφώνηση της άσκησης είναι
Δίνεται συνάρτηση f:R στο R με f(1) = 2000 και f(x+ψ) = f(x) + f(ψ) για κάθε x,ψ στο R.Έστω ότι η f δέχεται αρχική και F είναι μία αρχική της. Να αποδείξετε:
i) Η συνάρτηση g(x) = F(x+ψ) - F(x) - xf(ψ) + F(0) - F(ψ) , με x στο R είναι σταθερή για κάθε ψ στο R και να βρεθεί η τιμή της.
ii) η f(x) = 2000x για κάθε x στο R.
Χρήστος Τσιφάκης
xr. tsif

Χρήστο ,
σε ευχαριστώ πολύ ! Ο τρόπος επίλυσης γίονεται άμεσα φανερός .Έτσι κλείνουμε και αυτό το δύσκολο ερώτημα.

Μπάμπης

[rek2]

Μια λύση χωρίς καθοδήγηση μέσω ερωτημάτων

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Καλημέρα σε όλους.
Μπάμπη, Δημήτρη, Χρήστο και Κώστα σας αποστέλνω από το βιβλίο του Μπαϊλάκη (σελίδα 307) με τίτλο "παγκόσμια θεματογραφία ΟΛΥΜΠΙΑΔΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ, εκδόσεις Ανικούλα 1990, την άσκηση όπως δόθηκε το 1989 σε μαθηματική ολυμπιάδα στη Φινλαδία.
Στή λύση του χρησιμοποιεί συνάρτηση ολοκλήρωμα και αποδεικνύει ότι τελικά η f είναι παραγωγίσιμη.
Στο τέλος όμως της λύσης του, μας θέτει το ερώτημα:
Ο τρόπος επίλυσης του θέματος με ολοκληρωτικό λογισμό, έχει γενική ισχύ σε σχετικά θέματα ορίων, συνέχειας και παραγώγων;
Να έχουμε μια καλή μέρα
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

[Demetres]

Ένα σχόλιο στην λύση του rek2 (Κώστας;): Μέχρι πριν από λίγο καιρό δεν θα είχα κανένα ενδοιασμό να χρησιμοποιώ της μεθόδους που υπάρχουν στην λύση του. Μέχρι που ο χρήστης cmad στο artofproblemsolving.com μου άνοξε τα μάτια βάζοντας το ακόλουθο ερώτημα (Δείτε εδώ):

Δίνεται παραγωγίσιμη συνάρτηση , με παράγωγο f. Είναι η f ολοκληρώσιμη κατά Riemann;

Η πρώτη μου σκέψη ήταν "Ασφαλως και είναι. Αυτό δεν μας λέει και το θεμελιώδες θεώρημα το λογισμου;" Έλα όμως που δεν το λέει αυτό...

Τελικά υπάρχουν τετοιες F για τις οποίες η f δεν είναι ολοκληρώσιμη κατά Riemann. Για παράδειγμα η που έδωσα εγώ και η που έδωσε ο Ροδόλφος.

Επιστρέφω τώρα στην λύση του rek2. Βλέπουμε τώρα ότι το πρώτο βήμα στην λύση δεν επιτρέπεται. Και είναι ένα βήμα που το κάνουμε όλοι μας αρκετά συχνά! Φυσικά η λύση του μας δίνει κάτι. Μας λέει ότι η συνάρτηση g(x) που εμφανίζεται στο μήνυμα του Χρήστου Τσιφάκη δεν είναι ουρανοκατέβατη και μας εξηγεί πως θα μπορούσαμε να την βρούμε. Αλλά μέχρις εκεί. Από την στιγμή που βρήκαμε την g η οποία πιστεύουμε ότι είναι σταθερή (αλλά δεν γνωρίζουμε ότι είναι αφού δεν επιτρέπεται να ολοκληρώσουμε) πρέπει να αποδείξουμε ότι όντως είναι σταθερή παραγωγίζοντας, όπως ακριβώς κάναμε στην λύση που πρότεινε ο Χρήστος.

[comengdr]

Καλησπέρα σε όλους! Θέλω να ευχαριστήσω τον Demetres που θίγει το συγκεκριμένο θέμα το οποίο κατά κάποιο τρόπο είχα θίξει και εγώ σε προηγούμενα posts, μόνο που τότε κόντεψα να αισθανθώ "τρελός". Ευτυχώς που τα λεγόμενα του Δημήτρη έχουν τη σφραγίδα του Art of Problem Solving γιατί εγώ παρότι προσπάθησα με βιβλιογραφία και παραδείγματα δεν κατάφερα να πείσω...

[mathxl]

Mχμχμχ..
Rek2..δυσκολεύομαι να καταλάβω στην απόδειξη σου τον παρακάτω ισχυρισμό

Η ισότητα μου λέει ότι αν στον τύπο της f βάλω όπου x το y και διαιρέσω με το y θα είναι σαν να διαιρώ την f(x) με το x.
Θέλω να ρωτήσω, γιατί και όχι c(x);
΄
Δεν ξέρω...ίσως είμαι ζαλισμένος

Χρήστο
Νομίζω ότι οι συναρτήσεις που δίνουν οι demetres, r_boris πιθανότατα είναι ορισμένες και στο 0 με τιμή 0 ώστε να είναι συνεχείς και παραγωγίσιμες σε αυτό. Αυτό που θίγουν είναι ότι :
αν μία συνάρτηση έχει αρχική δεν σημαίνει ότι είναι και κατά Ρήμαν ολοκληρώσιμη (στα παραδείγματα τους, οι αρχικές F δεν είναι φραγμένες δεξιά του 0). Νομίζω ότι στο άλλο topic διαπραγματευόμασταν την ύπαρξη αρχικής και όχι του ολοκληρώματος
Φιλικά Βασίλης

[Μπάμπης Στεργίου]

Επιστρέφω τώρα στην λύση του rek2. Βλέπουμε τώρα ότι το πρώτο βήμα στην λύση δεν επιτρέπεται. Και είναι ένα βήμα που το κάνουμε όλοι μας αρκετά συχνά! Φυσικά η λύση του μας δίνει κάτι. Μας λέει ότι η συνάρτηση g(x) που εμφανίζεται στο μήνυμα του Χρήστου Τσιφάκη δεν είναι ουρανοκατέβατη και μας εξηγεί πως θα μπορούσαμε να την βρούμε. Αλλά μέχρις εκεί. Από την στιγμή που βρήκαμε την g η οποία πιστεύουμε ότι είναι σταθερή (αλλά δεν γνωρίζουμε ότι είναι αφού δεν επιτρέπεται να ολοκληρώσουμε) πρέπει να αποδείξουμε ότι όντως είναι σταθερή παραγωγίζοντας, όπως ακριβώς κάναμε στην λύση που πρότεινε ο Χρήστος.

Καλησπέρα αγαπητοί μου φίλοι !

Μετά από ένα κουραστικό Σαββατοκύριακο με τον Αρχιμήδη , τους διαγωνιζόμενους και όλα τα παρελκόμενα , μπήκα στην παρέα να δω πώς τα περνάτε . Και όπως πάντα βλέπω ότι ..πάντα υπάρχει καιρός για μια κουβέντα ή ένα πρόβλημα στο mathematica, δηλαδή στο στέκι μας !

Λοιπόν, δεν βάζω το χέρι στο ''Βαγγέλιο '', λόγω και κούρασης, αλλά η λύση του Rek2 μου φαίνεται τελείως σωστή και δεν έχει κανένα κενό ! Και το λέω αυτό όχι γιατί συμβαδίζει έμμεσα (στο σκεπτικό της) με τη λύση που έχω στο βιβλίο των δεσμών την οποία ευγενικά μας γνωστοποίησε ο Χρήστος (και η οποία δεν είναι άλλωστε δική μου - απλά έτσι τη συνάντησα και τη συνέλλαξα ως σωστή) ,αλλά διότι οι σχέσεις που έχει είναι όλες αναγκαίες και η συνάρτηση που βρίσκει(η οικογένεια συναρτήσεων πιο συγκεκριμένα) είναι δεκτή .

Πουθενά στη λύση δε χρησιμοποιήθηκε ότι η συνάρτηση f είναι ολοκληρώσιμη Riemann ! Απλά , αφού τα δύο μέλη της δοσμένης σχέσης είναι ίσες συναρτήσεις και υπάρχει αρχική(τελείως προφανές!), μπορεί και ολοκληρώνει(αορίστως αλλά συγκεκριμένως!!!). Αν έβαζε ορισμένο ολοκλήρωμα στα δύο μέλη, τότε θα είχαμε πρόβλημα !

Το ότι οι συναρτήσεις που έχουν αρχική δεν είναι υποχρεωτικά ολοκληρώσιμες Riemann το έχουμε απο πολύ παλαιότερα τονίσει , αλλά εδώ δεν έχουμε να κάνουμε με τέτοια ολοκλήρωση.Το μήνυμα του Rek2 απλά γεφυρώνει την ... φαντασία με την αναγκαιότητα με ίσως λίγο πιο αναλυτικό τρόπο από όσο πρέπει!

Ισχύουν φυσικά όλα αυτά που έγραψε ο Δημήτρης στην αλληλογραφία με τον cmad και δε χρειάζεται να τα ξαναγράφω .Να πω μόνο ότι στο καταπληκτικό βιβλίο του Arsinte και στην άσκηση 782(σελίδα 112) ζητείται ι) να βρεθεί συνάρτηση που έχει αρχική αλλά δεν είναι ολοκληρώσιμη Riemann ιι)να βρεθεί συνάρτηση που είναι ολοκληρώσιμη Riemann αλλά δεν έχει αρχική.Εκεί δίνεται τέτοια συνάρτηση (και είναι απλή).Μπορούσε λοιπόν ο Κώστας να ξεκινήσει από αυτές τις σχέσεις που βρίσκει μετά την ολοκλήρωση ( είναι πολύ απλό να δείξει ότι ισχύουν χωρίς να εξηγήσει πώς τις βρήκε !)και να προχωρήσει μέχρι τέλος. Που θα βλέπαμε τότε το ... ατόπημα ! Πουθενά , διότι δεν υπάρχει ! Μακάρι να κάνω λάθος.

Τέλος πάντων ! Και αύριο μέρα είναι , οπότε θα το ξαναδούμε με πιο καθαρό μυαλό.

Μπάμπης

[rek2]

Αγαπητοί φίλοι,
Παρακολουθώ και ενημερώνομαι από τα ‘τεκταινόμενα’ στα διάφορα Forum, και όχι μόνο, - όσο βέβαια μπορώ από θέμα χρόνου-, και, μετά τα σχετικά μηνύματα του Χρήστου, σκέφτηκα πολύ πώς να παρουσιάσω την λύση, με δεδομένο ότι υπήρχε η εναλλακτική του θεωρήματος μέσης τιμής. Μοιάζει, όμως, με την πρόταση που έπεσε στο τραπέζι και αποφάσισα να την αποφύγω κυρίως, γιατί υποκρύπτει την ιδέα που οδηγεί στην λύση!
Χωρίς να έχω διάθεση να υπερασπιστώ τίποτα, ούτε καν την λύση μου, και χωρίς να θέλω να αποφύγω κάτι άλλο, η πείρα με δίδαξε ότι αν είναι να κουβεντιάσουμε κάτι, καλό είναι να αρχίσουμε με τους ορισμούς, και το που απευθυνόμαστε.
Με τις καλύτερες ευχές μου για υγεία, πρόοδο, επιτυχία και ευημερία Rek2.

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Καλησπέρα, σε όλους.
Για δείτε και μια ποιο αιρετική θέση στο θέμα που συζητάμε.
Είναι μια διαφορετική προσέγγιση και επαληθεύεται η δοσμένη σχέση.
Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

[rek2]

Για mathxl
Κρατάμε σταθερό το y.
Nα είσαι πάντα καλά, να σε διαβάζουμε!!

( είχα σκοπό να ανεβάσω μια λύση για την εξίσωση χ^ν = αχ + β που έβαλε ο φίλος Νίκος, πριν λίγο καιρό, και με αυτά και τα άλλα δεν πράλαβα να δακτυλογραφήσω!! Ίδομεν)

[mathxl]

Ευχαριστώ πολύ...μάλλον ζαλισμένος είμαι...

[Μπάμπης Στεργίου]

Καλησπέρα, σε όλους.
Για δείτε και μια ποιο αιρετική θέση στο θέμα που συζητάμε.
.............................

Θωμάς Ραϊκόφτσαλης

Θωμά , ....γιατί είναι αιρετική ; Μια χαρά είναι , έστω και χωρίς να διαβάσω τη λύση!

[Ραϊκόφτσαλης Θωμάς]

Καλησπέρα Μπάμπη.
Το αιρετικό είναι σε σχέση με τον τρόπο που λυνόταν μέχρι τώρα η άσκηση.
Προσωπικά προτιμώ τη συνάρτηση ολοκλήρωμα από το να ολοκληρώνω αορίστως μια ισότητα συναρτήσεων.
Περνάμε από τη μια έννοια στην άλλη και αν μας ρωτήσουν (οι μαθητές) γιατί τα δυο σύνολα είναι ίσα πρέπει
να τους απαντήσουμε ότι το ένα είναι υποσύνολο του άλλου. Όχι βέβαια ότι είναι λάθος η απόδειξη του Κώστα,
μια χαρά είναι.
Διάβασέ τη λύση γιατί είναι στο πνεύμα που λύνονται οι ασκήσεις αυτού του είδους στο καταπληκτικό βιβλίο σου, που θα ήθελα να το επανεκδόσεις.
Να είσαι καλά
Θ.Ρ

[chris_gatos]

Kαλημέρα απο Πειραιά πλέον...
Συμπληρώνω την απάντηση μου σ'αυτό το post,λέγοντας πως :
1)Αν προσέξει κανείς τα λεγόμενα μου δε λέω πως το συγκεκριμένο είναι της ίδιας φύσης( λέω :''κατά κάποιο τρόπο'',αν το δείτε) με το άλλο της αρχικής.
Φυσικά και δεν είναι,φίλε Βασίλη και το κατανόησα.Όμως έχουν και τα δύο ένα κοινό παρονομάστη...
Τις παθολογικές καταστάσεις,που θα έπρεπε να λαμβάνουμε υπ'όψη μας.
Έκει λοιπόν τα ίδια λέμε με τον Demetres. Aπλά για να γίνω πιστευτός θα έπρεπε να ψάξω κι εγώ στο Art of problemsolving για κάποιο post κάποιου επιφανούς χρήστη, γιατί με την κανονική βιβλιογραφία, μάλλον περνιέσαι για τρελός.
Στο θέμα με τις αρχικές τίποτα απο όλα αυτά δε λήφθηκε υπ'όψη και οι απαντήσεις κυμαίνονταν στο ύφος : ''Μα τι είναι αυτά που λες,εγω αλλιώς τα ήξερα.θα αλλάξουμε τώρα τα μαθηματικά;'' κτλ,κτλ,κτλ
Δε σας κρύβω πως,διαβάζοντας την απάντηση του demetres λίγο πριν αναχωρήσω απο τα Χανιά για τη Σούδα, σ'όλη τη διαδρομή σκεπτόμουν,αν μπορούσα να του σφίξω το χέρι...Τελικά το μόνο που έκανα είναι να ζητήσω ευγενικά μέσω τηλεφώνου(παραλίγο να φάω...παντόφλα),να σταλεί το παραπάνω γιατί...ήθελα οπωσδήποτε να απαντήσω.

2)Η απάντηση μου δεν έχει να κάνει με τη λύση του Kώστα (rek2) καθότι ΔΕΝ την έχω κοιτάξει εμπεριστατωμένα και θα ήταν άδικη οποιαδήποτε αναφορά-κρίση.Έχει να κάνει με αυτά που αναφέρονται στο 1).

3)Μου άρεσε πάντως που μετά τη...ελεγεία με τις αρχικές, όλοι οι συνάδελφοι απαντώντας και συμμετέχοντας,άλλαξαν...ρότα και προσεγγίζουν και διαφορετικά,τέτοιου είδους θέματα..Πολύ καλό αυτό!
Μιλάμε για στροφή 180 μοιρών!

4)Μετανιώνω που δε χρησιμοποιήσα κι εγώ εκφράσεις, όπως αυτές του cmad απο το ανεβασμένου επιπέδου forum,όπως
''smooth'',''mild'' συναρτήσεις, οι οποίες θα έδιναν έναν άλλο, ''ξενικό'' αέρα στα λεγόμενα μου έτσι ώστε θα γινόμουν
πιο εύκολα πιστευτός,παρα αντικείμενο ''πειραγμάτων''. Που πάς με..ξερή βιβλιογραφία;;;

Καλημέρα και καλή εβδομάδα σε όλους. Ή για να γινώ ακόμη πιο κυριολεκτικός...Ηave a nice week !

[Μπάμπης Στεργίου]

..............................


Καλημέρα και καλή εβδομάδα σε όλους. Ή για να γινώ ακόμη πιο κυριολεκτικός...Ηave a nice week !

Χρήστο , καλωσήρθς από την Κρήτη !!!

Λοιπόν, σου αγόρασα τον prasolov (γεωμετρία ), οπότε με την πρώτη ευκαιρία θα στο δώσω ! Θα χορτάσεις να λύνεις γεωμετρία σε όλη σου τη ζωή !

Μπάμπης

[Demetres]

Αγαπητοί φίλοι,

Να ζητήσω ένα συγνώμη από τον χρήστη rek2 αν έθιξα την λύση του. Δεν ήταν σκοπός μου. Σκοπός μου ήταν να αναφέρω ένα αποτέλεσμα το οποίο αγνοούσα και το θεώρησα αρκετά σημαντικό. Διαβάζοντας το post του Μπάμπη, κατάλαβα ότι δεν είχα διαβάσει σωστά την λύση του rek2. Όταν διάβασα την λύση του rek2 νόμισα πως χρησιμοποιούσε ορισμένο ολοκλήρωμα.

Για να γίνω λίγο πιο ξεκάθαρος στο τι εννοούσα:

Άσκηση: Δίνονται συναρτήσεις f,g,F,G με F'=f και G'=g. Αν f(x) = g(x) για κάθε χ, να δειχθεί ότι F(x) = G(x) + F(0) - G(0) για κάθε χ.

Λύση: Έχουμε , άρα F(x) = G(x) + F(0) - G(0) για κάθε χ.

Αυτή η λύση είναι λάθος επειδή δεν γνωρίζουμε αν η f είναι ολοκληρώσιμη και άρα δεν επιτρέπεται η χρήση του θεμελιώδους θεωρήματος του ολοκληρωτικού λογισμού. Όπως όμως πολύ σωστά παρατήρησε ο Μπάμπης δεν έγινε χρήση αυτού του θεωρήματος από τον rek2.

Χρήστο: Ότι κάποιο αποτέλεσμα το λέει το artofproblemsolving.com ή το mathematica.gr ή οποιοδήποτε άλλο forum δεν σημαίνει απαραίτητα πως είναι και σωστό. Μαθηματικοί είμαστε και μπορούμε να διαβάσουμε και να κρίνουμε αν ένα επιχείρημα μας πείθει ή όχι. (Καμιά φορά μπορεί να ξεγελαστούμε βέβαια και να διαβάζουμε κάτι λάθος και να το θεωρήσουμε ορθό ή όπως συνέβη στην πείπτωσή μου, να διαβάσουμε κάτι ορθό και να θεωρήσουμε πως είναι λάθος)

Θωμά: Καθόλου αιρετική για εμένα η λύση.