Ασκήσεις Άλγεβρας

BAGGP93 · #61

Άσκηση 16 Έστω $\mathbb{F}$ ένα σώμα χαρακτηριστικής

. Να δειχθεί ότι η απεικόνιση Frobenius $F:\mathbb{F}\to \mathbb{F}\,,F(a)=a^p$ είναι ομομορφισμός δακτυλίων.

BAGGP93 · #62

Άσκηση 17 Να δοθεί παράδειγμα πολυωνύμου με συντελεστές από έναν μεταθετικό δακτύλιο ο οποίος δεν είναι σώμα, το οποίο έχει περισσότερες ρίζες από τον βαθμό του.

stranger · #63

BAGGP93 έγραψε: Τρί Δεκ 15, 2020 1:30 pm Άσκηση 16 Έστω $\mathbb{F}$ ένα σώμα χαρακτηριστικής . Να δειχθεί ότι η απεικόνιση Frobenius $F:\mathbb{F}\to \mathbb{F}\,,F(a)=a^p$ είναι ομομορφισμός δακτυλίων.

Αν $a,b \in F$ τότε προφανώς έχουμε (ab)^p = a^p b^p

, οπότε αρκεί να δείξουμε ότι (a+b)^p=a^p+b^p

.
Έχουμε $(a+b)^p = \sum_{k=0}^{p}\binom{p}{k} a^k b^{p-k}$ .
Όμως αν $1 \leq k \le p-1$ έχουμε $p \mid \binom{p}{k}$ (γιατι;), οπότε αφού η χαρακτηριστική του σώματος είναι

παίρνουμε $\binom{p}{k}a^k b^{p-k}=0$ και το συμπέρασμα έπεται.

stranger · #64

BAGGP93 έγραψε: Τρί Δεκ 15, 2020 1:34 pm Άσκηση 17 Να δοθεί παράδειγμα πολυωνύμου με συντελεστές από έναν μεταθετικό δακτύλιο ο οποίος δεν είναι σώμα, το οποίο έχει περισσότερες ρίζες από τον βαθμό του.

Παίρνουμε

στον $\mathbb{Z}_4 [x]$ .
Τότε f(0)=f(2)=0

και ο βαθμός του πολυωνύμου είναι

.

bouzoukman · #65

stranger έγραψε: Τρί Δεκ 15, 2020 1:51 pm
BAGGP93 έγραψε: Τρί Δεκ 15, 2020 1:34 pm Άσκηση 17 Να δοθεί παράδειγμα πολυωνύμου με συντελεστές από έναν μεταθετικό δακτύλιο ο οποίος δεν είναι σώμα, το οποίο έχει περισσότερες ρίζες από τον βαθμό του.
Παίρνουμε στον $\mathbb{Z}_4 [x]$ .
Τότε και ο βαθμός του πολυωνύμου είναι .

Ωραία ερώτηση και αντιπαράδειγμα για το Θεώρημα του Langrange!

stranger · #66

18) Έστω

ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα. Ένα στοιχείο του

λέγεται μηδενοδύναμο αν r^n=0

για κάποιο φυσικό αριθμό

.
Έστω επίσης nil(R)

να είναι η τομή όλων των πρώτων ιδεωδών του

.
Να δείξετε ότι το nil(R)

είναι το σύνολο των μηδενοδύναμων στοιχείων του

.

BAGGP93 · #67

stranger έγραψε: Σάβ Φεβ 20, 2021 2:22 pm 18) Έστω ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα. Ένα στοιχείο του λέγεται μηδενοδύναμο αν για κάποιο φυσικό αριθμό .
Έστω επίσης να είναι η τομή όλων των πρώτων ιδεωδών του .
Να δείξετε ότι το είναι το σύνολο των μηδενοδύναμων στοιχείων του .

Καλησπέρα και χαίρομαι που ξανάρχισε η άλγεβρα και η τοπολογία. Νομίζω ότι η ερώτηση σου βρίσκει γενικότερη απάντηση στο παρακάτω

viewtopic.php?f=136&t=54829#p265793

stranger · #68

BAGGP93 έγραψε: Σάβ Φεβ 20, 2021 5:03 pm
stranger έγραψε: Σάβ Φεβ 20, 2021 2:22 pm 18) Έστω ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα. Ένα στοιχείο του λέγεται μηδενοδύναμο αν για κάποιο φυσικό αριθμό .
Έστω επίσης να είναι η τομή όλων των πρώτων ιδεωδών του .
Να δείξετε ότι το είναι το σύνολο των μηδενοδύναμων στοιχείων του .
Καλησπέρα και χαίρομαι που ξανάρχισε η άλγεβρα και η τοπολογία. Νομίζω ότι η ερώτηση σου βρίσκει γενικότερη απάντηση στο παρακάτω

viewtopic.php?f=136&t=54829#p265793

Ωραία!
19) Έστω

ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα.
Το Jacobson radical είναι η τομή όλων των μέγιστων ιδεωδών του

.
Δείξτε ότι αν κάποιο

ανήκει στο Jacobson radical τότε το στοιχείο 1+x

είναι αντιστρέψιμο.

BAGGP93 · #69

Ωραία!
19) Έστω

ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα.
Το Jacobson radical είναι η τομή όλων των μέγιστων ιδεωδών του

.
Δείξτε ότι αν κάποιο

ανήκει στο Jacobson radical τότε το στοιχείο 1+x

είναι αντιστρέψιμο.

Λύση Έστω $x\in J(R)$ . Αν υποθέσουμε ότι το κύριο ιδεώδες $I=\langle{1+x\rangle}$ που παράγεται από το 1+x

είναι γνήσιο ιδεώδες του

τότε, υπάρχει μέγιστο ιδεώδες

του

με $1+x\in M$ . Όμως τότε, επειδή $x\in M$ , παίρνουμε

$1=(1+x)-x\in M\implies M=R$ , άτοπο.

Συνεπώς, $I=\langle{1+x\rangle}=R$ και το άρα το 1+x

είναι αντιστρέψιμο.

#70

stranger έγραψε: Σάβ Φεβ 20, 2021 9:44 pm 19) Έστω ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα.
Το Jacobson radical είναι η τομή όλων των μέγιστων ιδεωδών του .
Δείξτε ότι αν κάποιο ανήκει στο Jacobson radical τότε το στοιχείο είναι αντιστρέψιμο.

Το αποτέλεσμα αυτό βρίσκεται ως θεωρία σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Δακτυλίων ή στο αντίστοιχο κεφάλαιο των βιβλίων Αφηρημένης Άλγεβρας. Νομίζω ότι δεν έχει νόημα να τοποθετούμε στο φόρουμ θεωρία την οποία διδάσκεται ο οποιοσδήποτε παρακολουθήσει τα στάνταρ μαθήματα στις σπουδές του.

stranger · #71

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Φεβ 21, 2021 2:57 pm
stranger έγραψε: Σάβ Φεβ 20, 2021 9:44 pm 19) Έστω ένας μεταθετικός δακτύλιος με μονάδα.
Το Jacobson radical είναι η τομή όλων των μέγιστων ιδεωδών του .
Δείξτε ότι αν κάποιο ανήκει στο Jacobson radical τότε το στοιχείο είναι αντιστρέψιμο.
Το αποτέλεσμα αυτό βρίσκεται ως θεωρία σε όλα τα βιβλία Θεωρίας Δακτυλίων ή στο αντίστοιχο κεφάλαιο των βιβλίων Αφηρημένης Άλγεβρας. Νομίζω ότι δεν έχει νόημα να τοποθετούμε στο φόρουμ θεωρία την οποία διδάσκεται ο οποιοσδήποτε παρακολουθήσει τα στάνταρ μαθήματα στις σπουδές του.

Δεν νομίζω ότι βρίσκεται στα βιβλία προπτυχιακής άλγεβρας. Έχω αρκετά βιβλία αφηρημένης προπτυχιακής άλγεβρας και δεν αναφέρεται ως θεωρία.
Ίσως αναφέρεται ως άσκηση όχι όμως στη θεωρία.

#72

stranger έγραψε: Κυρ Φεβ 21, 2021 5:03 pm Δεν νομίζω ότι βρίσκεται στα βιβλία προπτυχιακής άλγεβρας. Έχω αρκετά βιβλία αφηρημένης προπτυχιακής άλγεβρας και δεν αναφέρεται ως θεωρία.
Ίσως αναφέρεται ως άσκηση όχι όμως στη θεωρία.

Μην παραλλάσουμε αυτό που έγραψα. Αναφέρθηκα σε Θεωρίες Δακτυλίων ή βιβλία που περιέχουν Θεωρία Δακτυλίων.

Για παράδειγμα αντιγράφω από την wikipedia εδώ

The Jacobson radical of a ring has various internal and external characterizations. The following equivalences appear in many noncommutative algebra texts such as (Anderson 1992, §15), (Isaacs 1994, §13B), and (Lam 2001, Ch 2).

Εκεί έχει έξι ισοδύναμα. Το συγκεκριμένο είναι στο σημείο, αντιγράφω,

J(R) is the unique right ideal of R maximal with the property that every element is right quasiregular[4][5] (or equivalently left quasiregular[2]).

BAGGP93 · #73

20. Ορισμός : Ένας προσεταιριστικός δακτύλιος με μονάδα

λέγεται πεπερασμένος κατά Dedekind αν ισχύει:
$\forall\,x\,,y\in R: (x\,y=1\implies y\,x=1)$

Κλασικά παραδείγματα τέτοιων δακτυλίων είναι οι μεταθετικοί δακτύλιοι καθώς και οι $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{K})$ όπου $\mathbb{K}$ σώμα.

Άσκηση: Έστω $\mathbb{K}$ σώμα, $\,V$ ένας $\mathbb{K}$ - διανυσματικός χώρος άπειρης διάστασης και έστω $\rm{End}_{\mathbb{K}}(V)$ ο δακτύλιος των $\mathbb{K}$ -

γραμμικών απεικονίσεων $f:V\to V$ . Να αποδειχθεί ότι ο $\rm{End}_{\mathbb{K}}(V)$ δεν είναι πεπερασμένος κατά Dedekind.

#74

BAGGP93 έγραψε: Τρί Φεβ 23, 2021 6:33 pm 20. Ορισμός : Ένας προσεταιριστικός δακτύλιος με μονάδα λέγεται πεπερασμένος κατά Dedekind αν ισχύει:
$\forall\,x\,,y\in R: (x\,y=1\implies y\,x=1)$

Κλασικά παραδείγματα τέτοιων δακτυλίων είναι οι μεταθετικοί δακτύλιοι καθώς και οι $\mathbb{M}_{n}(\mathbb{K})$ όπου $\mathbb{K}$ σώμα.

Άσκηση: Έστω $\mathbb{K}$ σώμα, $\,V$ ένας $\mathbb{K}$ - διανυσματικός χώρος άπειρης διάστασης και έστω $\rm{End}_{\mathbb{K}}(V)$ ο δακτύλιος των $\mathbb{K}$ -

γραμμικών απεικονίσεων $f:V\to V$ . Να αποδειχθεί ότι ο $\rm{End}_{\mathbb{K}}(V)$ δεν είναι πεπερασμένος κατά Dedekind.

Έστω $\{e_n | n\in \mathbb N^*\}$ αριθμήσιμη οικογένεια στοιχείων της βάσης (η οποία μπορεί να έχει και άλλα στοιχεία). Ορίζουμε

$f(e_n) = e_{n+1}$ για κάθε $n\in \mathbb N^*$ και στα υπόλοιπα στοιχεία e_a

της βάσης (αν υπάρχουν) θέτουμε f(e_a)=e_a

. Tέλος επεκτείνουμε γραμμικά.

Επίσης θέτουμε

g(e_1) =0,

και $g(e_{n+1}) = e_{n}$ για κάθε $n\in \mathbb N^*$ και στα υπόλοιπα στοιχεία e_a

της βάσης (αν υπάρχουν) θέτουμε g(e_a)=e_a

. Τέλος, επεκτείνουμε γραμμικά.

Άρα έχουμε για κάθε $n\in \mathbb N^*$ ότι $g(f(e_n)) = g(e_{n+1} )=e_n$ και για τα υπόλοιπα στοιχεία της βάσης g(f(e_a))=g(e_a)=e_a

, δηλαδή

. Από την άλλη

f(g(e_1)) =f(0)=0

, οπότε $fg\ne I$ . Τελειώσαμε.

Προσθέτω μόνο ότι για όλα τα άλλα

, δηλαδή $n\ge 2$ καθώς και για τα e_a

έχουμε

, δηλαδή η

χάνει μόνο στο e_1

για να γίνει ταυτοτική.

BAGGP93 · #75

Άσκηση 21: Μπορεί μια πεπερασμένη αβελιανή ομάδα (M,+)

να αποκτήσει δομή $\mathbb{Q}$ - προτύπου ;

stranger · #76

BAGGP93 έγραψε: Πέμ Φεβ 25, 2021 11:57 am Άσκηση 21: Μπορεί μια πεπερασμένη αβελιανή ομάδα να αποκτήσει δομή $\mathbb{Q}$ - προτύπου ;

Όχι δεν μπορεί, παρά μόνο αν είναι η τετριμμένη ομάδα.
Αν έχουμε μια ομάδα

πεπερασμένη που είναι $\mathbb{Q}$ - διανυσματικός χώρος τότε αν η

έχει βάση $\{g_1,..,g_n\}$ τότε αφού το $\{g_1,..,g_n\}$ είναι γραμμικά ανεξάρτητο βλέπουμε ότι το <g_1,..,g_n>

είναι άπειρο σύνολο.
Αν όμως η

είναι η τετριμμένη ομάδα έχουμε ότι παράγεται από το κενό σύνολο.

bouzoukman · #77

stranger έγραψε: Πέμ Φεβ 25, 2021 12:57 pm
BAGGP93 έγραψε: Πέμ Φεβ 25, 2021 11:57 am Άσκηση 21: Μπορεί μια πεπερασμένη αβελιανή ομάδα να αποκτήσει δομή $\mathbb{Q}$ - προτύπου ;
Όχι δεν μπορεί, παρά μόνο αν είναι η τετριμμένη ομάδα.
Αν έχουμε μια ομάδα πεπερασμένη που είναι $\mathbb{Q}$ - διανυσματικός χώρος τότε αν η έχει βάση $\{g_1,..,g_n\}$ τότε αφού το $\{g_1,..,g_n\}$ είναι γραμμικά ανεξάρτητο βλέπουμε ότι το είναι άπειρο σύνολο.
Αν όμως η είναι η τετριμμένη ομάδα έχουμε ότι παράγεται από το κενό σύνολο.

Ωραία ερώτηση και ωραία λύση!

Μια διαπίστωση, και υπό μία έννοια γενίκευση της άσκησης, είναι ότι αν έχουμε μία πεπερασμένα παραγόμενη αβελιανή ομάδα

τότε ο $M\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}\simeq\mathbb{Q}^r$ είναι διανυσματικός χώρος διάστασης

όπου

είναι ο βαθμός της ομάδας.

stranger · #78

22) Έστω μια ομάδα

περιττής τάξης. Δείξτε ότι η απεικόνιση $x \rightarrow x^2$ είναι αυτομορφισμός της

.
Γενικεύστε το αποτέλεσμα για την απεικόνιση $x \rightarrow x^p$ για

πρώτο ώστε η τάξη της ομάδας να μη διαιρείται με το

.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #79

stranger έγραψε: Πέμ Φεβ 25, 2021 7:43 pm 22) Έστω μια ομάδα περιττής τάξης. Δείξτε ότι η απεικόνιση $x \rightarrow x^2$ είναι αυτομορφισμός της .
Γενικεύστε το αποτέλεσμα για την απεικόνιση $x \rightarrow x^p$ για πρώτο ώστε η τάξη της ομάδας να μη διαιρείται με το .

Κάτι δεν πάει καλά.
Μήπως παραλείφθηκε το Αβελιανή ;

stranger · #80

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Πέμ Φεβ 25, 2021 8:04 pm
stranger έγραψε: Πέμ Φεβ 25, 2021 7:43 pm 22) Έστω μια ομάδα περιττής τάξης. Δείξτε ότι η απεικόνιση $x \rightarrow x^2$ είναι αυτομορφισμός της .
Γενικεύστε το αποτέλεσμα για την απεικόνιση $x \rightarrow x^p$ για πρώτο ώστε η τάξη της ομάδας να μη διαιρείται με το .
Κάτι δεν πάει καλά.
Μήπως παραλείφθηκε το Αβελιανή ;

Ναι, ακριβώς. Με συγχωρείτε. Η ομάδα είναι αβελιανή.

Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Re: Ασκήσεις Άλγεβρας

Μέλη σε σύνδεση