Εξίσωση με 3 Αγνώστους

Joaakim · #1

Να βρείτε όλες τις τριάδες φυσικών αριθμών (x,y,z)

που ικανοποιούν την εξίσωση
xyz=x^2+2y-1

#2

Joaakim έγραψε: Πέμ Δεκ 17, 2020 4:37 pm Να βρείτε όλες τις τριάδες φυσικών αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση

Για

, παίρνουμε $0\le 2y = 1-x^2$ , οπότε x=1

, και λοιπά.

Για z=1

η εξίσωση γίνεται x^2-yx+(2y-1)=0

οπότε $y=\dfrac {x^2-1}{x-2}= x+2+\dfrac {3}{x-2}$ . Άρα x-2=1

ή

που μας οδηγεί στις λύσεις x=3,y=8

και

.

Για

η εξίσωση γίνεται x^2-2yx+(2y-1)=0

που ως δευτεροβάθμια έχει λύσεις x=1

ή

, και λοιπά.

Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι $z\ge 3$ .

Σε αυτή την περίπτωση η αρχική γράφεται x^2-(yz)x+(2y-1)=0

με διακρίνουσα y^2z^2-8y+4

η οποία πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο. Θα δούμε ότι δεν είναι. Πράγματι, βρίσκεται γνήσια μεταξύ των (yz-2)^2

και

. Άρα μπορεί μόνο να ισχύει y^2z^2-8y+4=(yz-1)^2

, το οποίο ισοδυναμεί με 3=2y(4-z)=

άρτιος, άτοπο.

Joaakim · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Πέμ Δεκ 17, 2020 9:18 pm
Joaakim έγραψε: Πέμ Δεκ 17, 2020 4:37 pm Να βρείτε όλες τις τριάδες φυσικών αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση

Για , παίρνουμε $0\le 2y = 1-x^2$ , οπότε , και λοιπά.

Για η εξίσωση γίνεται οπότε $y=\dfrac {x^2-1}{x-2}= x+2+\dfrac {3}{x-2}$ . Άρα ή που μας οδηγεί στις λύσεις και .

Για η εξίσωση γίνεται που ως δευτεροβάθμια έχει λύσεις ή , και λοιπά.

Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε ότι $z\ge 3$ .

Σε αυτή την περίπτωση η αρχική γράφεται με διακρίνουσα η οποία πρέπει να είναι τέλειο τετράγωνο. Θα δούμε ότι δεν είναι. Πράγματι, βρίσκεται γνήσια μεταξύ των και . Άρα μπορεί μόνο να ισχύει , το οποίο ισοδυναμεί με άρτιος, άτοπο.

Εξαιρετικά! Παραθέτω και τη δικιά μου λύση(που είναι πολύ διαφορετική):
xyz=x^2+2y-1<=>x|2y-1<=>2y-1=kx

, όπου

φυσικός. Αντικαθιστώντας στην αρχική λαμβάνουμε:
x^2+kx=xyz<=>x+k=yz<=>y|x+k<=>x+k<=y<=>
2x+2k<=2y-1+1<=>2x+2k<=kx+1<=>(kx-2x)+(-2k+4)<=3
<=>x(k-2)-2(k-2)<=3<=>(k-2)(x-2)<=3

Εε μετά διακρίνουμε περιπτώσεις και τα πράγματα είναι αρκετά απλά…

#4

Έχω και άλλες δύο (αρκετά διαφορετικές) λύσεις αλλά θα γράψω αύριο τουλάχιστον μία. Δεν μπορώ τώρα γιατί αύριο
πρέπει να ξυπνήσω τα χαράματα καθώς έχω τηλεδιάσκεψη με το εξωτερικό.

Όμως, βλέπω διάφορα προβλήματα στην λύση σου. Ίσως κάνω λάθος λόγω βιασύνης.

Για παράδειγμα (πέρα από το ότι τα σύμβολα του "<" εναλλάσσουν από "ανισότητα" σε $\Leftrightarrow$ και μπερδεύουν) δεν βλέπω το βήμα
.

Joaakim έγραψε: Πέμ Δεκ 17, 2020 11:38 pm

.
ούτε το
.

Joaakim έγραψε: Πέμ Δεκ 17, 2020 11:38 pm

.
Επίσης καταλήγεις σε μία ανισότητα για το

(που εκτός από το μικρό τυπογραφικό σφάλμα $(x-2)(x-2)\le 3$ αντί του $(x-2)(k-2)\le 3$ ) θα βγάλεις συμπέρασμα για το

και το

, που σημαίνει ότι το

πήγε περίπατο. Και τέλος έχεις χάσει τις άπειρες το πλήθος λύσεις $x=2y-1,\,z=2$ .

Joaakim · #5

Καταλαβαίνω τί λέτε αλλά την έγραψα από κινητό, και γι' αυτό τα τόσα προβλήματα.

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Δεκ 18, 2020 12:08 am Επίσης καταλήγεις σε μία ανισότητα για το (που εκτός από το μικρό τυπογραφικό σφάλμα $(x-2)(x-2)\le 3$ αντί του $(x-2)(k-2)\le 3)$ θα βγάλεις συμπέρασμα για το και το , που σημαίνει ότι το πήγε περίπατο. Και τέλος έχεις χάσει τις άπειρες το πλήθος λύσεις $x=2y-1,\,z=2$ .

Βλέπω τί λέτε, όμως αφού 2y-1=kx

, τότε θα είναι 2y=kx+1

, οπότε παίρνουμε και την τιμή του

. Μετά από την
x+k=yz

, παίρνουμε και την τιμή του

, οπότε και τις δυνατές τριάδες. Τώρα δεν βλέπω που χάνετε η τιμή x=2y-1

.

#6

Joaakim έγραψε: Παρ Δεκ 18, 2020 8:57 am
Βλέπω τί λέτε, όμως αφού , τότε θα είναι , οπότε παίρνουμε και την τιμή του . Μετά από την
, παίρνουμε και την τιμή του , οπότε και τις δυνατές τριάδες. Τώρα δεν βλέπω που χάνετε η τιμή .

Ίσως δεν έγινα κατανοητός.

Φτάσαμε στο τελικό αποτέλεσμα με χρήση του x+k=yz

αλλά από ότι φαίνεται ο συλλογισμός από ένα σημείο και πέρα είναι εσφαλμένος (τουλάχιστον όπως το βλέπω εγώ). Επίσης ας προσθέσω ότι από το γεγονός ότι y|k+x

δεν αρκεί να πούμε ότι λύσαμε την εξίσωση λαμβάνοντας $z=\frac {k+x}{y}$ . Για παράδειγμα μπορεί αυτό να οδηγεί σε περιορισμό των x,y,k

οπότε δεν είναι κατ' ανάγκη λύσεις. Για παράδειγμα η τελική σου σχέση $(x-2)(k-2)\le 3$ ικανοποιείται από την x=3,k=3

και δίνει

άρα

, αλλά δίνει $z=\frac {k+x}{y}=\frac {3+3}{5}$ που δεν είναι ακέραιος.

Θα πρότεινα να δεις και τα άλλα σημεία που επισημαίνω, δηλαδή να μας εξηγήσεις αν είναι σωστά τα βήματα και ότι δεν έχασες λύσεις.

Edit αργότερα: Ξανακοίτξα την λύση σου και παρατηρώ ότι έχει μεν κάποια λαθάκια εδώ και εκεί, αλλά διορθώνονται εύκολα. Με άλλα λόγια σε παρακαλώ κάνε τις απαιτούμενες μικροδιορθώσεις γιατί η λύση σου είναι κατά βάθος ΣΩΣΤΗ.

#7

Joaakim έγραψε: Πέμ Δεκ 17, 2020 4:37 pm Να βρείτε όλες τις τριάδες φυσικών αριθμών που ικανοποιούν την εξίσωση

Αν και περιμένουμε απάντηση στα αμέσως προηγούμενα, γράφω μία διαφορετική λύση από την αρχική μου, όπως υποσχέθηκα χθες βράδυ.

Για x=1

η εξίσωση γίνεται yz=2y

, πότε είτε y=0

ή

, και λοιπά. Οπότε μπορούμε να υποθέσουμε x> 1

.

Αν

ή

εργαζόμαστε όπως στην αρχική λύση, οπότε μπορούμε να υποθέσουμε z >2

.

Πολλαπλασιάζοντας την αρχική επί

(πράγμα ανορθόδοξο γιατί συνήθως προσπαθούμε να απλοποιήσουμε) παίρνουμε

xyz^2-x^2x+2yz-z

, ισοδύναμα yz(xz+2)=x^2x-z

και άρα

$\displaystyle{yz = \dfrac {x^2x-z}{xz+2}= x-\dfrac {2x+z}{xz+2}}$ . Έπεται ότι το τελευταίο κλάσμα πρέπει να είναι ακέραιος, αλλά θα δείξουμε ότι δεν είναι (για x> 1

και

) οπότε δεν έχουμε άλλες λύσεις πέρα από αυτές παραπάνω. Πράγματι,

παρονομαστής $\displaystyle{= xz+2 = (x-1)z+z+2 > 2(x-1) + z+2 =2x+z = }$ αριθμητής, και λοιπά.

Joaakim · #8

Mihalis_Lambrou έγραψε: Παρ Δεκ 18, 2020 11:21 am
Joaakim έγραψε: Παρ Δεκ 18, 2020 8:57 am
Βλέπω τί λέτε, όμως αφού , τότε θα είναι , οπότε παίρνουμε και την τιμή του . Μετά από την
, παίρνουμε και την τιμή του , οπότε και τις δυνατές τριάδες. Τώρα δεν βλέπω που χάνετε η τιμή .
Ίσως δεν έγινα κατανοητός.

Φτάσαμε στο τελικό αποτέλεσμα με χρήση του αλλά από ότι φαίνεται ο συλλογισμός από ένα σημείο και πέρα είναι εσφαλμένος (τουλάχιστον όπως το βλέπω εγώ). Επίσης ας προσθέσω ότι από το γεγονός ότι δεν αρκεί να πούμε ότι λύσαμε την εξίσωση λαμβάνοντας $z=\frac {k+x}{y}$ . Για παράδειγμα μπορεί αυτό να οδηγεί σε περιορισμό των οπότε δεν είναι κατ' ανάγκη λύσεις. Για παράδειγμα η τελική σου σχέση $(x-2)(k-2)\le 3$ ικανοποιείται από την και δίνει άρα , αλλά δίνει $z=\frac {k+x}{y}=\frac {3+3}{5}$ που δεν είναι ακέραιος.

Θα πρότεινα να δεις και τα άλλα σημεία που επισημαίνω, δηλαδή να μας εξηγήσεις αν είναι σωστά τα βήματα και ότι δεν έχασες λύσεις.

Edit αργότερα: Ξανακοίτξα την λύση σου και παρατηρώ ότι έχει μεν κάποια λαθάκια εδώ και εκεί, αλλά διορθώνονται εύκολα. Με άλλα λόγια σε παρακαλώ κάνε τις απαιτούμενες μικροδιορθώσεις γιατί η λύση σου είναι κατά βάθος ΣΩΣΤΗ.

Λοιπόν συνεχίζω από την:
x+k=yz

Νομίζω ότι διόρθωσα το λάθος μου…

#9

Joaakim έγραψε: Σάβ Δεκ 19, 2020 3:52 pm Λοιπόν συνεχίζω από την:

Νομίζω ότι διόρθωσα το λάθος μου…

Μόνο ένα δευτερεύον σχόλιο έχω: Από την x+k=yz

βγαίνει

μόνο με την προϋπόθεση $z\ne 0$ . Οπότε εξετάζουμε χωριστά την περίπτωση z=0

στην αρχική (είναι άμεση περίπτωση που δίνει $x=1,\, y=0$ ).

Επίσης να προσθέσω ότι η τελευταία σχέση (x-2)(k-2)≤3

έχει αρκετή πλοκή ακόμα. Για παράδειγμα αν k=2

τότε όλα τα

μας κάνουν, οπότε πηγαίνουμε πίσω στην αρχική για τις λεπτομέρειες.

ΧΑΙΡΟΜΑΙ ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ για την λύση σου, γιατί είναι αρκετά απαιτητικό θέμα για Juniors.

Είναι δικής σου κατασκευής η άσκηση;

Joaakim · #10

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Δεκ 19, 2020 6:46 pm
Joaakim έγραψε: Σάβ Δεκ 19, 2020 3:52 pm Λοιπόν συνεχίζω από την:

Νομίζω ότι διόρθωσα το λάθος μου…

Μόνο ένα δευτερεύον σχόλιο έχω: Από την βγαίνει μόνο με την προϋπόθεση $z\ne 0$ . Οπότε εξετάζουμε χωριστά την περίπτωση στην αρχική (είναι άμεση περίπτωση που δίνει $x=1,\, y=0$ ).

Επίσης να προσθέσω ότι η τελευταία σχέση έχει αρκετή πλοκή ακόμα. Για παράδειγμα αν τότε όλα τα μας κάνουν, οπότε πηγαίνουμε πίσω στην αρχική για τις λεπτομέρειες.

ΧΑΙΡΟΜΑΙ ΙΔΙΑΙΤΕΡΑ για την λύση σου, γιατί είναι αρκετά απαιτητικό θέμα για Juniors.

Είναι δικής σου κατασκευής η άσκηση;

Όχι όχι, η συγκεκριμένη είναι πολύ πολύπλοκη για να την δημιουργήσω ο ίδιος μου

. Παρόλαυτα η λύση που είχε έμοιαζε πολύ με τις δικές σας, αυτή που παρέθεσα ήταν η δικιά μου.

#11

Joaakim έγραψε: Σάβ Δεκ 19, 2020 9:33 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Δεκ 19, 2020 6:46 pm
Είναι δικής σου κατασκευής η άσκηση;
Όχι όχι, η συγκεκριμένη είναι πολύ πολύπλοκη για να την δημιουργήσω ο ίδιος μου . Παρόλαυτα η λύση που είχε έμοιαζε πολύ με τις δικές σας, αυτή που παρέθεσα ήταν η δικιά μου.

Μπράβο σου.

Αν επιτρέπεται, ποια είναι η πηγή της άσκησης;

Θεωρώ ότι η άσκηση είναι αρκετά δύσκολη γιατί δίνει την εντύπωση ότι λύνεται με διαιρετότητα όμως στην πραγματικότητα η διαιρετότητα παίζει μικρό ρόλο αλλά δουλεύουμε με ανισότητες. Στην πρώτη μου λύση μπαίνει μόνο στην εύρεση των διαιρετών του

, ενώ στην δεύτερη, πουθενά.

Στην δική σου ωραιότατη λύση μπορούμε να αποφύγουμε την διαιρετότητα. Ας δούμε πώς:

Γράφεις πολύ σωστά

οπότε και άρα $2y-1=kx \, (*)$ για κάποιον φυσικό. Αργότερα με αντικατάσταση αυτού στην αρχική λαμβάνουμε: άρα $x+k=yz,\,(**)$ από όπου , και λοιπά.

Ας τα δούμε λίγο αλλιώς (ουσιαστικά το ίδιο, αλλά αποφεύγω διαιρετότητα).

Από την xyz=x^2+2y-1

παίρνουμε

. Αν θέσουμε k=yz-x

τότε η τελευταία γράφεται xk=2y-1

. Αυτή είναι η σχέση σου (*)

. Επίσης έχουμε yz=(yz-x)+x=k+x

. Αυτή είναι η σχέση σου (**)

.

Εξίσωση με 3 Αγνώστους

Εξίσωση με 3 Αγνώστους

Re: Εξίσωση με 3 Αγνώστους

Re: Εξίσωση με 3 Αγνώστους

Re: Εξίσωση με 3 Αγνώστους

Re: Εξίσωση με 3 Αγνώστους

Re: Εξίσωση με 3 Αγνώστους

Re: Εξίσωση με 3 Αγνώστους

Re: Εξίσωση με 3 Αγνώστους

Re: Εξίσωση με 3 Αγνώστους

Re: Εξίσωση με 3 Αγνώστους

Re: Εξίσωση με 3 Αγνώστους

Μέλη σε σύνδεση