Διέρχεται από το έγκεντρο

[giannimani]

exerc.png (21.36 KiB) Προβλήθηκε 1143 φορές

Έστω η διάμεσος του μη ισοσκελούς τριγώνου , το σημείο επαφής της πλευράς με το εγγεγραμμένο κύκλο του , το δεύτερο σημείο τομής του με το ευθύγραμμο τμήμα . Η εφαπτομένη του στο τέμνει τη διάμεσο στο σημείο . Να αποδείξετε ότι η παράλληλη της από το διέρχεται από το έγκεντρο του .

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

exerc.pngΈστω η διάμεσος του μη ισοσκελούς τριγώνου , το σημείο επαφής της πλευράς με το εγγεγραμμένο κύκλο του , το δεύτερο σημείο τομής του με το ευθύγραμμο τμήμα . Η εφαπτομένη του στο τέμνει τη διάμεσο στο σημείο . Να αποδείξετε ότι η παράλληλη της από το διέρχεται από το έγκεντρο του .

συμμετρικό προς . Ορίζω επίσης .
Τα είναι συνευθειακά.
Είναι γνωστό λήμμα επίσης ότι συνευθειακά.
Η πολική του από La hire περνά από το και είναι κάθετη στην άρα είναι η παράλληλη από το στην έστω .Έχω ότι άρα συντρέχουν στο . Ο πόλος του δηλαδή το ανήκει στην άρα οι εφαπτομένες του στα τέμνονται στην .Αυτό το σημείο θα είναι και το της εκφώνησης.Επιπλέον και το ζητούμενο έπεται

13.PNG (40.66 KiB) Προβλήθηκε 1110 φορές

[vittasko]

Έστω , το αντιδιαμετρικό σημείο του και έχουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά, όπου είναι το συμμετρικό σημείο του ως προς το μέσον της πλευράς (γνωστό αποτέλεσμα).

Ορίζουμε το σημείο της εκφώνησης, ως το σημείο τομής των εφαπτομένων του κύκλου στα σημεία και αρκεί ως ισοδύναμο ζητούμενο να αποδειχθεί ότι το ανήκει στην ευθεία .

Έστω τα σημεία και .

Από το ορθογώνιο τρίγωνο έχουμε και άρα, η είναι εφαπτομένη του κύκλου .

Περνάει από το έγκεντρο.

f 22_t 68626.PNG (31.38 KiB) Προβλήθηκε 1034 φορές

Θεωρούμε τώρα, το εγγεγραμμένο στον κύκλο μη κυρτό και εκφυλισμένο εξάγωνο και σύμφωνα με το Θεώρημα Pascal, έχουμε ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά.

Ομοίως, θεωρούμε το εγγεγραμμένο μη κυρτό και εκφυλισμένο εξάγωνο και σύμφωνα πάλι με το ίδιο θεώρημα, έχουμε ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά.

Οι ευθείες τώρα, έχουν δύο κοινά σημεία και επομένως ταυτίζονται και προκύπτει έτσι ότι το σημείο όπως ορίστηκε παραπάνω, ανήκει στην ευθεία .

Τέλος, από και και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

[giannimani]

exera1.png (49.38 KiB) Προβλήθηκε 1037 φορές

Έστω ότι η εφαπτομένη , και η παράλληλος της από το , τέμνουν την ευθεία της πλευράς
στα σημεία και αντίστοιχα. Σημειώνουμε ότι το έγκεντρο του ανήκει στη διχοτόμο
της γωνίας .

Έστω το σημείο τομής της διχοτόμου της γωνίας με την από το παράλληλο της .
Προφανώς, , και εφόσον , τότε . Επομένως, το τρίγωνο είναι
ισοσκελές (η διχοτόμος και ύψος), οπότε το μέσο του .
Αν τώρα , τότε εύκολα προκύπτει ότι το μέσο του .

Στη συνέχεια, θεωρούμε το σημείο επαφής της πλευράς με τον παρεγγεγραμμένο κύκλο του .
Εφόσον , τότε το μέσο και του . Δηλαδή, τα , μέσα των
, αντίστοιχα, οπότε . Επομένως, το ανήκει και στην από το παράλληλο της .

Είναι όμως γνωστό ότι (η απόδειξη του γνωστού αυτού λήμματος στο τέλος).

Από αυτό, και από την αρχική σημείωση ότι το έγκεντρο του ανήκει στη διχοτόμο
της γωνίας , προκύπτει ότι .


Λήμμα. Σε τρίγωνο , έστω το έγκεντρο, τo σημείο επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου
του τριγώνου με την πλευρά , το μέσο της πλευράς , και το σημείο επαφής του
παρεγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου με την πλευρά . Τότε, .

Απόδειξη. Έστω διάμετρος του εγγεγραμμένου κύκλου του . Η εφαπτομένη αυτού του κύκλου
στο σημείο είναι παράλληλη της πλευράς . Το σημείο είναι το σημείο επαφής, του
παρεγγεγραμμένου στο τρίγωνο κύκλου, με την πλευρά . Αφετέρου, το σημείο είναι
το σημείο επαφής του παρεγγεγραμμένου στο τρίγωνο με την πλευρά .
Τα τρίγωνα και είναι ομοιόθετα με κέντρο ομοιοθεσίας το σημείο .

Επομένως, τα σημεία , και ανήκουν στην ίδια ευθεία. Εξάλλου, .
Ως εκ τούτου , και το είναι το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα δύο πλευρών
του τριγώνου , και αυτό σημαίνει ότι .

exera2_001.png (34.59 KiB) Προβλήθηκε 1037 φορές