Κοίλη

#1

Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση $\displaystyle{f:R\rightarrow R}$ , η οποία είναι κοίλη και ισχύουν:

$\displaystyle{f(1)=2}$ και $\displaystyle{lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(4h+1)-2}{h} = 4}.}$

(α) Να δείξετε ότι η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο της με τετμημένη $\displaystyle{x_{0}=1}$ , δίνεται από την εξίσωση:

$\displaystyle{(e): y=x+1}$

(β) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\int_{0} ^{2} t(\int_{0} ^{1}f(x)dx)dt<3}$

(γ) Να δείξετε ότι υπάρχει $\displaystyle{x_{0} E(0,1)}$ , ώστε οι εφαπτομένες των $\displaystyle{C_{f} , C_{g} }$ , όπου $\displaystyle{g(x)=x^2}$ , $\displaystyle{ x E R}$ , στα

σημεία τους με τετμημένη $\displaystyle{x_{0}}$ , να είναι μεταξύ τους παράλληλες.

(δ) Να δείξετε ότι $\displaystyle{f(-2)+f(0)+f(2) < 3 }$

(Πηγή: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ , Ντίνα Ψαθά)

#2

α) Θέτοντας $\displaystyle 4h=u$
$\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(4h+1)-2}{h}=4\Rightarrow \underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(4h+1)-f(1)}{4h}=\frac{4}{4}\Rightarrow {f}'(1)=1$
Άρα $(e):y-2=1(x-1)\Leftrightarrow y=x+1$

β) $\int\limits_{0}^{2}{t}(\int\limits_{0}^{1}{f}(x)dx)dt<3\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f}(x)dx)\int\limits_{0}^{2}{t}dt<3\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f}(x)dx)\left[ \frac{{{t}^{2}}}{2} \right]_{0}^{2}<3\Leftrightarrow \int\limits_{0}^{1}{f}(x)dx)<\frac{3}{2}$
Η $\displaystyle f$ είναι κοίλη , άρα $\displaystyle f(x)\le x+1$ και η ισότητα μόνο για $\displaystyle x=1$ ,
άρα $\int\limits_{0}^{1}{f}(x)dx)<\int\limits_{0}^{1}{(x+1)dx=\frac{3}{2}}$
γ) Αρκεί να δειχτεί ότι η εξίσωση $\displaystyle {k}'(x)=0$ , όπου $\displaystyle k(x)=f(x)-{{x}^{2}}$ , έχει μια τουλάχιστον λύση.
$\displaystyle \begin{array}{l} k(1) = 2 - 1 = 1 > 0\\ k(-1) = f( - 1) - 1 < 0 - 1 = - 1 < 0\\ k(2) = f(2) - 4 < 3 - 4 = - 1 < 0 \end{array}$

Άρα από θ. Bolzano υπάρχουν $\displaystyle {{x}_{1}}\in (-1,1),{{x}_{2}}\in (1,2)$ ώστε $\displaystyle f({{x}_{1}})=f({{x}_{2}})=0$
Το ζητούμενο έπεται με εφαρμογή του Θ. Rolle στην $\displaystyle k(x)$ στο $\displaystyle [{{x}_{1}},{{x}_{2}}]$
δ) Είναι $\displaystyle f(x)\le x+1$ και η ισότητα μόνο για $\displaystyle x=1$
Άρα f(-2)+f(0)+f(2)<(-2+1)+(0+1)+(2+1)=3

Κοίλη

Κοίλη

Re: Κοίλη

Μέλη σε σύνδεση