Δεν διέρχεται εφαπτομένη. Εξήγησε το.

#1

Έστω η συνάρτηση $f(x)=x^2-x,x\in\mathbb{R}}$ .
$\bigstar$ Να βρείτε τις εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

οι οποίες διέρχονται από το σημείο K(2,1)

.

$\bigstar \bigstar$ Να αποδείξετε ότι δε διέρχεται εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης

από το σημείο A(2,3)

.

Ένας μαθητής σας ζητάει να του δώσετε τη γεωμετρική εξήγηση του δεύτερου ερωτήματος. Τι θα του λέγατε ώστε να τον καλύψετε πλήρως;

#2

chris_gatos έγραψε: Δευ Ιαν 11, 2021 11:35 pm Έστω η συνάρτηση $f(x)=x^2-x,x\in\mathbb{R}}$ .
$\bigstar$ Να βρείτε τις εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης οι οποίες διέρχονται από το σημείο .

$\bigstar \bigstar$ Να αποδείξετε ότι δε διέρχεται εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης από το σημείο .

Ένας μαθητής σας ζητάει να του δώσετε τη γεωμετρική εξήγηση του δεύτερου ερωτήματος. Τι θα του λέγατε ώστε να τον καλύψετε πλήρως;

Αν

τυπικό σημείο της καμπύλης (παραβολή) τότε αφού f'(x)=2x-1

, η εφαπτομένη έχει κλίση 2a-1

. Άρα έχει εξίσωση y-(a^2-a)=(2a-1)(x-a)

. Αν διέρχεται από το (2,1)

, τότε

. Λύνοντας βρίσκουμε a=1

ή

.

Αντίθετα για το (2,3)

, θέλουμε

, ισοδύναμα a^2-4a+5=0

, το οποίο έχει αρνητική διακρίνουσα.

Γεωμετρικά, αφού f(2)= 2^2-2= 2<3

, έπεται ότι το (2,3)

είναι στο "μέσα μέρος" της παραβολής, οπότε δεν διέρχεται εφαπτομένη, καθώς όλες οι εφαπτόμενες είναι εξωτερικά της συγκεκριμένης καμπύλης.

#3

chris_gatos έγραψε: Δευ Ιαν 11, 2021 11:35 pm Έστω η συνάρτηση $f(x)=x^2-x,x\in\mathbb{R}}$ .
$\bigstar$ Να βρείτε τις εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης οι οποίες διέρχονται από το σημείο .

$\bigstar \bigstar$ Να αποδείξετε ότι δε διέρχεται εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης από το σημείο .

Ένας μαθητής σας ζητάει να του δώσετε τη γεωμετρική εξήγηση του δεύτερου ερωτήματος. Τι θα του λέγατε ώστε να τον καλύψετε πλήρως;

Γεια σας.
Μολονότι το θέμα μπορεί να τεθεί και στην κατεύθυνση της Β' Λυκείου υποθέτω ότι μιλάμε για μαθητή της Γ΄Λυκείου.
Μία άλλη απάντηση στο δεύτερο ερώτημα εκτός από αυτή που ανέφερε ο Μιχάλης θα μπορούσε να είναι η ακόλουθη:
Η

είναι κυρτή και κάθε σημείο της γραφικής παράστασης της βρίσκεται πάνω από κάθε εφαπτομένη της εκτός από το σημείο επαφής που βρίσκεται επί της εφαπτομένης. Αν ένα σημείο (a,b)

του επιπέδου βρίσκεται πάνω από την γραφική παράσταση δηλασή b>f(a)

τότε δεν υπάρχει εφαπτόμενη που να διέρχεται από αυτό διότι τότε το (a,f(a))

θα βρίσκεται κάτω από αυτή την εφαπτομένη.

#4

chris_gatos έγραψε: Δευ Ιαν 11, 2021 11:35 pm Έστω η συνάρτηση $f(x)=x^2-x,x\in\mathbb{R}}$ .
$\bigstar$ Να βρείτε τις εφαπτομένες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης οι οποίες διέρχονται από το σημείο .

$\bigstar \bigstar$ Να αποδείξετε ότι δε διέρχεται εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης από το σημείο .

Ένας μαθητής σας ζητάει να του δώσετε τη γεωμετρική εξήγηση του δεύτερου ερωτήματος. Τι θα του λέγατε ώστε να τον καλύψετε πλήρως;

Καλημέρα!

Έστω $\displaystyle \lambda$ ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης και το σημείο (2,b).

Τότε θα πρέπει η εξίσωση

$\displaystyle {x^2} - x = \lambda (x - 2) + b \Leftrightarrow {x^2} - (\lambda + 1)x + 2\lambda - b = 0$ να έχει διπλή ρίζα. Δηλαδή $\displaystyle \Delta = 0,$

απ' όπου προκύπτει ότι $\displaystyle {\lambda ^2} - 6\lambda + 1 + 4b = 0$ και στη συνέχεια $\boxed{b\le 2}$ Επομένως:

$\displaystyle \bullet$ Για το σημείο K(2,1)

είναι $\displaystyle \lambda = 1$ ή $\displaystyle \lambda = 5,$ οπότε έχουμε δύο εφαπτόμενες με εξισώσεις $\boxed{y=x-1}$ και $\boxed{y=5x-9}$

$\displaystyle \bullet$ Για το σημείο A(2,3)

αφού

δεν έχουμε εφαπτομένη.

Όσο για τη γεωμετρική εξήγηση, δεν έχω κάτι διαφορετικό απ' όσα έγραψαν ο Μιχάλης και ο Νίκος.

Δεν διέρχεται εφαπτομένη. Εξήγησε το.

Δεν διέρχεται εφαπτομένη. Εξήγησε το.

Re: Δεν διέρχεται εφαπτομένη. Εξήγησε το.

Re: Δεν διέρχεται εφαπτομένη. Εξήγησε το.

Re: Δεν διέρχεται εφαπτομένη. Εξήγησε το.

Μέλη σε σύνδεση