Στατιστική 1

Α.Κυριακόπουλος · #1

Έστω δ η διάμεσος ν το πλήθος παρατηρήσεων: $\displaystyle{{x_1},{x_2},...,{x_\nu }(\nu \ge 2)}$ . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: $\displaystyle{f(x) = \left| {x - {x_1}} \right| + \left| {x - {x_2}} \right| + ... + \left| {x - {x_\nu }} \right|}$
με x=δ λαμβάνει ελάχιστη τιμή.

Υ.Γ.
Η άσκηση αυτή είναι για τη νέα ενότητα: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ -ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ στο φάκελο του καθηγητή. Επειδή όμως δεν μπορώ να την βάλω εκεί, ίσως δεν κάνω κάτι καλά, την βάζω εδώ και παρακαλώ ένα διαχειριστή να τη μεταφέρει στην παραπάνω ενότητα.
Ευχαριστώ.

#2

Μια απάντηση είναι η εξής:
Έστω ότι οι παρατηρήσεις γραμμένες με την σειρά που εμφανίζονται στο τύπο της συνάρτησης είναι διατεταγμένες σε αύξουσα σειρά. Θεωρούμε τις εικόνες τους στον πραγματικό άξονα.
Το συμπέρασμα προκύπτει άμεσα με την παρατήρηση: Για τα σταθερά και διαφορικά σημεία Α, Β και το μεταβλητό σημείο Μ μιας ευθείας, το άθροισμα ΜΑ+ΜΒ γίνεται ελάχιστο, όταν το Μ είναι οποιοδήποτε σημείο του ΑΒ.
Γενικεύοντας, εύκολα βρίσκουμε ότι η συνάρτηση λαμβάνει ελάχιστη τιμή όταν η εικόνα Μ του x συμπίπτει με την εικόνα της μεσαίας παρατήρησης, αν ν περιττός, ή με σημείο του διαστήματος των μεσαίων παρατηρήσεων, αν ν άρτιος. Οι όποιες λεπτομέριες διευθετούνται εύκολα.

alkinoos · #3

rek2 έγραψε:Μια απάντηση είναι η εξής:
Έστω ότι οι παρατηρήσεις γραμμένες με την σειρά που εμφανίζονται στο τύπο της συνάρτησης είναι διατεταγμένες σε αύξουσα σειρά. Θεωρούμε τις εικόνες τους στον πραγματικό άξονα.
Το συμπέρασμα προκύπτει άμεσα με την παρατήρηση: Για τα σταθερά και διαφορικά σημεία Α, Β και το μεταβλητό σημείο Μ μιας ευθείας, το άθροισμα ΜΑ+ΜΒ γίνεται ελάχιστο, όταν το Μ είναι οποιοδήποτε σημείο του ΑΒ.
Γενικεύοντας, εύκολα βρίσκουμε ότι η συνάρτηση λαμβάνει ελάχιστη τιμή όταν η εικόνα Μ του x συμπίπτει με την εικόνα της μεσαίας παρατήρησης, αν ν περιττός, ή με σημείο του διαστήματος των μεσαίων παρατηρήσεων, αν ν άρτιος. Οι όποιες λεπτομέριες διευθετούνται εύκολα.

Κύριε rek2, συγγνώμη αλλά δεν καταλαβαίνω τη λύση. Μπορείτε να την κάνετε περισσότερο κατανοητή; Ευχαριστώ.

Α.Κυριακόπουλος · #4

Α.Κυριακόπουλος έγραψε:Έστω δ η διάμεσος ν το πλήθος παρατηρήσεων: $\displaystyle{{x_1},{x_2},...,{x_\nu }(\nu \ge 2)}$ . Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση: $\displaystyle{f(x) = \left| {x - {x_1}} \right| + \left| {x - {x_2}} \right| + ... + \left| {x - {x_\nu }} \right|}$
με x=δ λαμβάνει ελάχιστη τιμή.

Υ.Γ.
Η άσκηση αυτή είναι για τη νέα ενότητα: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ -ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ στο φάκελο του καθηγητή. Επειδή όμως δεν μπορώ να την βάλω εκεί, ίσως δεν κάνω κάτι καλά, την βάζω εδώ και παρακαλώ ένα διαχειριστή να τη μεταφέρει στην παραπάνω ενότητα.
Ευχαριστώ.

Λύση. Έστω ότι: $\displaystyle{{x_1} \le {x_2} \le ... \le {x_\nu }}$ .
1) Έστω ότι ο ν είναι περιττός: ν=2ρ+1 ( $\displaystyle{\rho \in {N^*}}$ ). Τότε:
$\displaystyle{{x_1} \le {x_2} \le ... \le {x_\rho } \le {x_{\rho + 1}} = \delta \le {x_{\rho + 2}} \le ... \le {x_{2\rho }} \le {x_{2\rho + 1}}}$ . (Ι)
• Με $\displaystyle{x < {x_1}}$ , έχουμε:
$\displaystyle{\left| {x - {x_1}} \right| + \left| {x - {x_{2\rho + 1}}} \right| = - x + {x_1} - x + {x_{2\rho + 1}} = {x_{2\rho + 1}} - {x_1} + 2\left( {{x_1} - x} \right) > {x_{2\rho + 1}} - {x_1}}$ .
• Με $\displaystyle{x > {x_{2\rho + 1}}}$ , έχουμε:
$\displaystyle{\left| {x - {x_1}} \right| + \left| {x - {x_{2\rho + 1}}} \right| = x - {x_1} + x - {x_{2\rho + 1}} = {x_{2\rho + 1}} - {x_1} + 2\left( {x - {x_{2\rho + 1}}} \right) > {x_{2\rho + 1}} - {x_1}}$ .
• Με $\displaystyle{{x_1} \le x \le {x_{2\rho + 1}}}$ , έχουμε:
$\displaystyle{\left| {x - {x_1}} \right| + \left| {x - {x_{2\rho + 1}}} \right| = x - {x_1} - x + {x_{2\rho + 1}} = {x_{2\rho + 1}} - {x_1}}$ .
Αποδείξαμε λοιπόν ότι:
(1) $\displaystyle{\left| {x - {x_1}} \right| + \left| {x - {x_{2\rho + 1}}} \right| \ge {x_{2\rho + 1}} - {x_1}}$ , με το = μόνο αν $\displaystyle{{x_1} \le x \le {x_{2\rho + 1}}}$ . Όμοια:
(2) $\displaystyle{\left| {x - {x_2}} \right| + \left| {x - {x_{2\rho }}} \right| \ge {x_{2\rho }} - {x_2}}$ , με το = μόνο αν $\displaystyle{{x_2} \le x \le {x_{2\rho }}}$ .
……………………………………………………………….
(ρ) $\displaystyle{\left| {x - {x_\rho }} \right| + \left| {x - {x_{\rho + 2}}} \right| \ge {x_{\rho + 2}} - {x_\rho }}$ , με το = μόνο αν $\displaystyle{{x_\rho } \le x \le {x_{\rho + 2}}}$ .
(ρ+1) $\displaystyle{\left| {x - {x_{\rho + 1}}} \right| \ge 0}$ , με το = μόνο αν $\displaystyle{x = {x_{\rho + 1}}}$ .
Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις αυτές βρίσκουμε:
$\displaystyle{f(x) \ge \left( {{x_{2\rho + 1}} + {x_{2\rho }} + ... + {x_{\rho + 2}}} \right) - \left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_\rho }} \right)}$ . (ΙΙ)
Παρατηρούμε ότι, με $\displaystyle{x \ne {x_{\rho + 1}}}$ , η (ρ+1) σχέση ισχύει με το > και άρα η (II) ισχύει με το >. Ενώ με $\displaystyle{x = {x_{\rho + 1}} = \delta }$ , λόγω των (I) κάθε μια από τις (ρ+1) σχέσεις ισχύει με το = και άρα η (II) ισχύει με το =. Συνεπώς, με x=δ η συνάρτηση f λαμβάνει ελάχιστη τιμή.
2) Έστω ότι ο ν είναι άρτιος: ν=2ρ ( $\displaystyle{\rho \in {N^*}}$ ). Τότε:
$\displaystyle{{x_1} \le {x_2} \le ... \le {x_\rho } \le \frac{{{x_\rho } + {x_{\rho + 1}}}}{2} = \delta \le {x_{\rho + 1}} \le ... \le {x_{2\rho - 1}} \le {x_{2\rho }}}$ (Ι΄)
Όπως παραπάνω βρίσκουμε ότι:
(1΄) $\displaystyle{\left| {x - {x_1}} \right| + \left| {x - {x_{2\rho }}} \right| \ge {x_{2\rho }} - {x_1}}$ , με το = μόνο αν $\displaystyle{{x_1} \le x \le {x_{2\rho }}}$ .
(2΄) $\displaystyle{\left| {x - {x_2}} \right| + \left| {x - {x_{2\rho - 1}}} \right| \ge {x_{2\rho - 1}} - {x_2}}$ , με το = μόνο αν $\displaystyle{{x_2} \le x \le {x_{2\rho - 1}}}$ .
………………………………………………………………………
(ρ΄) $\displaystyle{\left| {x - {x_\rho }} \right| + \left| {x - {x_{\rho + 1}}} \right| \ge {x_{\rho + 1}} - {x_\rho }}$ , με το = μόνο αν $\displaystyle{{x_\rho } \le x \le {x_{\rho + 1}}}$ .
Προσθέτοντας κατά μέλη τις σχέσεις αυτές βρίσκουμε:
$\displaystyle{f(x) \ge \left( {{x_{2\rho }} + {x_{2\rho - 1}} + ... + {x_{\rho + 1}}} \right) - \left( {{x_1} + {x_2} + ... + {x_\rho }} \right)}$ . (ΙΙ΄)
Παρατηρούμε ότι με $\displaystyle{x = \frac{{{x_\rho } + {x_{\rho + 1}}}}{2} = \delta }$ , λόγω των (Ι΄), κάθε μια από τις (ρ΄) σχέσεις ισχύει με το = και άρα η (ΙΙ΄) ισχύει με το =. Συνεπώς με x=δ η συνάρτηση λαμβάνει ελάχιστη τιμή.
Σχόλιο. Οι Γεωμετρικές λύσεις Αλγεβρικών προβλημάτων, καθώς και προβλημάτων της Ανάλυσης, δεν μπορεί να είναι αυστηρές.
Η εποπτεία, όπως έχω γράψει πολλές φορές, είναι πολύ χρήσιμη. Αλλά, αν θέλουμε να είμαστε σωστοί και αυστηροί, αυτά που ανακαλύπτουμε με την εποπτεία θα πρέπει μετά να τα μεταφράζουμε με αυστηρές μαθηματικές σχέσεις.

Στατιστική 1

Στατιστική 1

Re: Στατιστική 1

Re: Στατιστική 1

Re: Στατιστική 1

Μέλη σε σύνδεση