ασκηση με φαντασια

#1

Εστω $\displaystyle{f}$ ωστε $\displaystyle{f(0)=f(4)=f(2)-2=0,0>f''(x)\ge -1,\forall x\in [0,4]}$ Να βρείτε την $\displaystyle{f}$
Εκανα διορθωση ΣΥΓΝΩΜΗ το $\displaystyle{...>-1}$ σε $\displaystyle{\ge -1}$

dimpaplo · #2

Επειδή μας δίνεται ότι {f}''(x)>-1

ψάχνουμε να βρούμε μια συνάρτηση $g:[0,4]\rightarrow\mathbb{R}$ η οποία "μοιάζει" με την

και για την οποία ισχύει {g}''(x)=-1

για κάθε $x\in [0,4]$ .
${g}''(x)=-1 \Leftrightarrow {g}'(x)=-x+p \Leftrightarrow g(x)=-\frac{x^2}{2}+px+q, p,q\in \mathbb{R}$
Για να μοιάζει η

στην

επιλέγουμε κατάλληλα p,q

τέτοια ώστε,
$g(0)=f(0)=0 ,g(4)=f(4)=0 \Leftrightarrow q=0,-8+4p+q=0 \Leftrightarrow q=0,p=2$ οπότε $g(x)=-\frac{x^2}{2}+2x$ .
Παρατηρούμε ακόμη ότι g(2)=2=f(2)

.
Θεωρούμε τη συνάρτηση $h:[0,4]\rightarrow \mathbb{R} , h(x)=f(x)-g(x)$ με {h}''(x)={f}''(x)-{g}''(x)={f}''(x)+1>0

.
Άρα η

είναι γνησίως αύξουσα.
Όμως h(0)=h(2)=h(4)=0

οπότε από το θεώρημα Rolle

παίρνουμε ότι η {h}'

έχει τουλάχιστον δύο ρίζες ,μία σε καθένα από τα διαστήματα (0,2)

και

το οποίο είναι άτοπο.
Άρα δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

ILIOPOULOS PANAGIOTIS · #3

Άλλος τρόπος είναι να θεωρήσουμε τη συνάρτηση: $g(x)=f(x)+\frac{x^{2}}{2}$ , η οποία είναι κυρτή. Εφαρμόζοντας την ανισότητα Jensen $g(\frac{a+b}{2})\leq \frac{g(a)+g(b)}{2}$ για a=0, b=4

παίρνουμε

, άτοπο. Άρα, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

Υ.Γ.: Αφού σκέφτηκα ότι η δοσμένη σχέση δεν επαρκεί για να βρω τον τύπο της συνάρτησης, σκέφτηκα ότι θα την αξιοποιήσω, ώστε να αποδείξω ότι ΔΕΝ υπάρχει τέτοια συνάρτηση.

#4

δεν θα δώσω την λύση αλλά μια σειρά από βοηθητικά ερωτήματα που οδηγούν προς τα εκεί
Α)Αν $\displaystyle{2g(x)=x(4-x)}$ θα δείξουμε ότι $\displaystyle{ g(0)=g(4)=2-g(2)=0 , g'(0)=2 , g΄(4)=-2}$ και $\displaystyle{g''(x)=-1}$ στο $\displaystyle{[0,4]}$ προσπαθώντας να βρούμε μια συνάρτηση στην οποία η ανίσωση της εκφώνησης γίνεται ισότητα
Β)Θέτουμε $\displaystyle{h(x)=f(x)-g(x) }$ για ευνόητους λόγους και θα δείξουμε ότι υπάρχουν $\displaystyle{\xi _1 \in (0,2) ,\xi _2 \in (2,4): h΄(\xi _1)= h΄(\xi _2)=0}$
Γ)Θα δείξουμε ότι $\displaystyle{ h΄}$ αύξουσα και έτσι δείξτε ότι $\displaystyle{h΄(x)=0}$ στο $\displaystyle{ [\xi _1,\xi _2]}$
Δ)Θα δείξουμε ότι και η $\displaystyle{h(x)=0}$ στο $\displaystyle{ [\xi _1,\xi _2]}$
Ε)Θα δείξουμε ότι $\displaystyle{h}$ φθίνουσα στο $\displaystyle{ [0,\xi _1]}$ ]και αύξουσα στο $\displaystyle{ [\xi _2,4]}$
ΣΤ)Θα δείξουμε έτσι ότι η $\displaystyle{ h }$ είναι σταθερή και θα βρούμε τον τύπο της $\displaystyle{f}$ .)

ασκηση με φαντασια

ασκηση με φαντασια

Re: ασκηση με φαντασια

Re: ασκηση με φαντασια

Re: ασκηση με φαντασια

Μέλη σε σύνδεση