Τρομακτική συνάρτηση

KARKAR · #1

Μελετήστε την συνάρτηση : $f(x)=\dfrac{x-1}{lnx}-\sqrt{x}$ , ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα .

ILIOPOULOS PANAGIOTIS · #2

Παρακαλώ ελέγξετε αν έχετε δώσει σωστά τον τύπο της συνάρτησης. Είμαι πολύ κοντά στη λύση και μου τη χαλάει το $-\sqrt{x}$ στο τέλος. Αν η συνάρτηση ήταν: $f(x)=\frac{x-1}{lnx}-\frac{1}{3}x\sqrt{x}$ , τότε η άσκηση βγαίνει κανονικά. Κάνοντας στο graphing calculator τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που έχετε δώσει, φαίνεται ότι αλλάζει μονοτονία σε δύο σημεία, ένα εκ των οποίων είναι απροσδιόριστο. Σε περίπτωση που ο τύπος της συνάρτησης έχει δοθεί λάθος και ο σωστός είναι αυτός που ανέφερα, θα ανεβάσω τη λύση μου.

#3

ILIOPOULOS PANAGIOTIS έγραψε: Σάβ Φεβ 20, 2021 8:24 am Κάνοντας στο graphing calculator τη γραφική παράσταση της συνάρτησης που έχετε δώσει, φαίνεται ότι αλλάζει μονοτονία σε δύο σημεία

Ενδεχομένως ο graphing calculator να μπερδεύεται στο x=1

γιατί μηδενίζεται ο παρονομαστής. Δεν έχω graphing calculator για να ελέγξω αλλά τέτοια προβλήματα είναι αναμενόμενα.

Για να πάρεις ιδέα για το γράφημα θα συνιστούσα να έκανες χωριστά τα γραφήματα στα α) από 0,1

έως

και μετά β) από 1,1

και πάνω.

Πάντως ο ίδιος δεν βλέπω πρόβλημα στην άσκηση πέρα από τις κακοτοπιές που φέρνει το "περίεργο" πεδίο ορισμού $(0,1)\cup(1,\infty)$

ksofsa · #4

Καλησπέρα!

Δε βάζω ολοκληρωμένη προσέγγιση , αλλά κάποιους προβληματισμούς για την άσκηση. Ωστόσο, σπεύδω να επισημάνω ότι η ατελής αυτή προσέγγιση είναι εκτός φακέλου.

Θέτοντας $x=e^{y}$ , όπου $y\epsilon (-\infty ,0)\cup (0,+\infty )$ , θα δουλέψω στη συνάρτηση

$g(y)=\dfrac{e^y-1}{y}-\sqrt{e^y}$ .

Θα δουλέψω αρχικά στο διάστημα $(0,+\infty )$ .

Από το ανάπτυγμα Taylor, έχω:

$\dfrac{e^y-1}{y}=1+\dfrac{y}{2!}+\dfrac{y^2}{3!}+...+\dfrac{y^n}{(n+1)!}+...$

και

$\sqrt{e^y}=1+\dfrac{y}{2}+\dfrac{y^2}{2^2(2!)}+...+\dfrac{y^n}{2^n(n!)}+...$ .

Συνεπώς:

$g(y)=y^2(\dfrac{1}{3!}-\dfrac{1}{2^2(2!)})+y^3(\dfrac{1}{4!}-\dfrac{1}{2^3(3!)})+...$

και

$g'(y)=2y(\dfrac{1}{3!}-\dfrac{1}{2^2(2!)})+3y^2(\dfrac{1}{4!}-\dfrac{1}{2^3(3!)})+...> 0$ .

Άρα, η g(y)

γνησίως αύξουσα στο $(0,+\infty )$ και η

γνησίως αύξουσα ως σύνθεση γνησίως αυξουσών συναρτήσεων.

Ερχόμαστε τώρα στο διάστημα $(-\infty ,0)$ .

Έχω:

$g'(y)=\dfrac{ye^y-e^y+1}{y^2}-\dfrac{\sqrt{e^y}}{2}$ .

Παρατηρούμε, με χρήση υπολογιστικής μηχανής, ότι g'(-5)g'(-6)< 0

και ,από Bolzano, η

μηδενίζεται σε κάποιο σημείο εντός του (-6,-5)

, το οποίο δεν ξέρω αν μπορούμε να προσδιορίσουμε...

KARKAR · #5

Παρότι η συνάρτηση $f(x)=\dfrac{x-1}{lnx}-\sqrt{x}$ , που έδωσα παρουσιάζει έντονο ενδιαφέρον ,
πρέπει να απολογηθώ για την αστοχία μου

: Είναι : $f'(x)=\dfrac{1}{lnx}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1-x}{xln^2x}$ .

Την είδα ως : $f'(x)=\dfrac{1}{lnx}-\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{x-1}{xln^2x}$ , κι έτσι άλλαξαν όλα ...

Πάντως θα μπορούσε κανείς να ασχοληθεί με την συνάρτηση της οποίας η παράγωγος είναι η από πάνω .

Για αποζημίωση των ταλαιπωρηθέντων λυτών , προτείνω και την : $g(x)=\dfrac{1-x}{lnx}-\sqrt{x}$

ILIOPOULOS PANAGIOTIS · #6

ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΑ!!! ΤΩΡΑ ΑΛΛΑΖΕΙ Η ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΧΩ ΛΥΣΕΙ ΤΗΝ ΑΣΚΗΣΗ. ΜΕ ΤΗΝ ΠΡΩΤΗ ΕΥΚΑΙΡΙΑ ΘΑ ΑΝΕΒΑΣΩ ΤΗ ΛΥΣΗ.

#7

$\displaystyle{f'(x)=\frac{lnx-\frac{x-1}{x}}{ln^2(x)}-\frac{1}{2\sqrt{x}}= \frac{-2+2x-2xlnx-\sqrt{x}ln^2x}{2xln^2x}}$

$\displaystyle{g(x)={-2+2x-2xlnx-\sqrt{x}ln^2x}}$

$\displaystyle{g'(x)=-2lnx(1+\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{lnx}{4\sqrt{x}})= -2lnx(\frac{4\sqrt{x}+4+lnx}{4\sqrt}{x}}}$

$\displaystyle{h(x)=4\sqrt{x}+4+lnx}}}$

$\displaystyle{h'(x)=\frac{2\sqrt{x}+1}{x}}$
$\displaystyle{h'>0 , x>0 }$ και $\displaystyle{ h(r)=0 ,\lim_{x\to 0}h(x)=-\infty}$

συνεχίζεται με κατασκευή του πίνακα μονοτονίας ΣΕ ΛΙΓΟ

#8

συγνωμη για τις λάθος πράξεις πιστευω οτι θα επανορθώσω

#9

$\displaystyle{g'=\frac{lnx}{2\sqrt{x}}h}$

$\displaystyle{h<0,x\le r<1}$ , $\displaystyle{h>0x>r}$

$\displaystyle{g'=-\frac{lnx}{2\sqrt{x}}h}$

$\displaystyle{g'<0,x>1}$ , $\displaystyle{g'>0,r\le x<1}$ , $\displaystyle{g'<0,x<r}$

$\displaystyle{f'<0,x<1}$ ,

SSf'>0,x>1

Τρομακτική συνάρτηση

Τρομακτική συνάρτηση

Re: Τρομακτική συνάρτηση

Re: Τρομακτική συνάρτηση

Re: Τρομακτική συνάρτηση

Re: Τρομακτική συνάρτηση

Re: Τρομακτική συνάρτηση

Re: Τρομακτική συνάρτηση

Re: Τρομακτική συνάρτηση

Re: Τρομακτική συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση