Εκθετική διοφαντική

Αρχιμήδης 6 · #1

Να λυθεί στους ακέραιους η παρακάτω εξίσωση:

x^2+11=3^n

Πηγή: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... &t=613851&

Ενημερώνω ότι μέχρι τώρα είναι άλυτη στον σύνδεσμο και έχει δυσκολίες.

#2

Χρειάζεται να κάνουμε παραγοντοποίηση στο $\mathbb{Z}[\sqrt{-11}]$
http://ac.els-cdn.com/0022314X75900037/ ... 19cdb718e6

Αρχιμήδης 6 · #3

smar έγραψε:Χρειάζεται να κάνουμε παραγοντοποίηση στο $\mathbb{Z}[\sqrt{-11}]$
http://ac.els-cdn.com/0022314X75900037/ ... 19cdb718e6

Ευχαριστώ για το πολύ χρήσιμο link.

Επιβεβαιώνει και τον βαθμό δυσκολία της.

Αλλά ίσως υπάρχει και άλλος στοιχειώδης τρόπος...

2nisic · #4

Με

έχουμε

μήπως μπορεί να συνεχίσει κάποιος λύνοντας την έξωση pell

:

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #5

2nisic έγραψε: Πέμ Φεβ 11, 2021 9:47 pm Με έχουμε μήπως μπορεί να συνεχίσει κάποιος λύνοντας την έξωση :

Δοκίμασα με την γενικευμένη Pell αλλά δεν κατέληξα πουθενά, συγκεκριμένα αφού βρήκα την ακολουθία λύσεων κατά τα γνωστά( αναδρομικός τύπος) πήρα την ακολουθία των

(υπάρχουν δύο θεμελιώδεις λύσεις $(x_1,y_1)=(1,\pm 2)$ εγώ πήρα την (1,2)

) και βγαίνει ότι 9|y_i

για $i=3,12\pmod {18}$ αλλά τότε δεν παίρνουμε άτοπο $\pmod 2$ ούτε $\pmod {31123}$ (πρώτος) στην ακολουθία
(σημειώστε ( $31123*3^4=y_{12}$ ).
Καμιά ιδέα κανείς μήπως μπορεί να τελειώσει τελικά με Pell ;

bouzoukman · #6

Αυτή η άσκηση με έχει ταλαιπωρήσει τις τελευταίες μέρες και το λινκ που υπάρχει πιο πάνω δε λειτουργεί για να βοηθήσει....

Με λίγη βασική αλγεβρική θεωρία αριθμών κάποιος μπορεί εύκολα να δείξει ότι

$\displaystyle{ x + \sqrt{-11} = \pm \left(\frac{1+\sqrt{-11}}{2}\right)^n. }$

Από τη τελευταία σχέση κάποιος δείχνει ότι
$\displaystyle{ x=\pm\frac{1}{2^n}\sum_{i=0}^{(n-1)/2}{n\choose 2i}(-11)^i, }$
και
$\displaystyle{ 1=\pm\frac{1}{2^n}\sum_{i=0}^{(n-1)/2}{n\choose 2i+1}(-11)^i. }$

Ο,τι κι αν έχω δοκιμάσει έχει αποτύχει! Δεν μου είναι δύσκολο να χρησιμοποιήσω κάποιες προχωρημένες τεχνικές για να δώσω ένα άνω φράγμα του

και μετά να χρησιμοποιήσω υπολογιστή αλλά θα προτιμούσα κάτι πιο στοιχειώδες!

#7

bouzoukman έγραψε: Δευ Μαρ 01, 2021 9:47 pm Αυτή η άσκηση με έχει ταλαιπωρήσει τις τελευταίες μέρες και το λινκ που υπάρχει πιο πάνω δε λειτουργεί για να βοηθήσει....

Εδώ είναι ένα σχετικό άρθρο https://www.sciencedirect.com/science/a ... 4X75900037

bouzoukman · #8

silouan έγραψε: Τρί Μαρ 02, 2021 10:57 pm Εδώ είναι ένα σχετικό άρθρο https://www.sciencedirect.com/science/a ... 4X75900037

Ευχαριστώ πολύ!

Εκθετική διοφαντική

Εκθετική διοφαντική

Re: Εκθετική διοφαντική

Re: Εκθετική διοφαντική

Re: Εκθετική διοφαντική

Re: Εκθετική διοφαντική

Re: Εκθετική διοφαντική

Re: Εκθετική διοφαντική

Re: Εκθετική διοφαντική

Μέλη σε σύνδεση