Τριπλό θαύμα

KARKAR · #1

: Τριπλό θαύμα.png (11.33 KiB) Προβλήθηκε 996 φορές

Πάνω στις πλευρές AB=6 , BC=8 , CA=7

, τριγώνου ABC

, θεωρώ σημεία P , T , S

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : AP=BT=CS=x

. Βρείτε το μήκος

, ώστε : $\widehat{PST}=\widehat{C}$ .

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 05, 2021 12:31 pm Τριπλό θαύμα.pngΠάνω στις πλευρές , τριγώνου , θεωρώ σημεία

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Βρείτε το μήκος , ώστε : $\widehat{PST}=\widehat{C}$ .

Με νόμο συνημιτόνων στο αρχικό τρίγωνο βρίσκω $\displaystyle \cos A = \frac{1}{4},\cos B = \frac{{17}}{{32}},\cos C = \frac{{11}}{{16}}.$ Με τον ίδιο νόμο παίρνω:

: Τριπλό θαύμα.png (13.38 KiB) Προβλήθηκε 958 φορές

$\displaystyle P{T^2} = \frac{{49{x^2} - 294x + 576}}{{16}},P{S^2} = \frac{{40{x^2} - 280x + 784}}{{16}},S{T^2} = \frac{{54{x^2} - 432x + 1024}}{{16}}$

Στη συνέχεια εφαρμόζω τον ίδιο νόμο στο SPT

και τελικά βρίσκω $\boxed{x=\dfrac{11}{3}}$

Υπάρχει ευκολότερος τρόπος και δεν τον βλέπω; Μου βγήκαν τα μάτια στις πράξεις

#3

george visvikis έγραψε: Παρ Μαρ 05, 2021 6:50 pm
KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 05, 2021 12:31 pm Τριπλό θαύμα.pngΠάνω στις πλευρές , τριγώνου , θεωρώ σημεία

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Βρείτε το μήκος , ώστε : $\widehat{PST}=\widehat{C}$ .
Με νόμο συνημιτόνων στο αρχικό τρίγωνο βρίσκω $\displaystyle \cos A = \frac{1}{4},\cos B = \frac{{17}}{{32}},\cos C = \frac{{11}}{{16}}.$ Με τον ίδιο νόμο παίρνω: Τριπλό θαύμα.png
$\displaystyle P{T^2} = \frac{{49{x^2} - 294x + 576}}{{16}},P{S^2} = \frac{{40{x^2} - 280x + 784}}{{16}},S{T^2} = \frac{{54{x^2} - 432x + 1024}}{{16}}$

Στη συνέχεια εφαρμόζω τον ίδιο νόμο στο και τελικά βρίσκω $\boxed{x=\dfrac{11}{3}}$

Υπάρχει ευκολότερος τρόπος και δεν τον βλέπω; Μου βγήκαν τα μάτια στις πράξεις

Tο αποτέλεσμα ( 11/3

)το είχα 2 λεπτά μετά που την είδα( αυτόματος πιλότος γαρ ) ,

στη συνέχεια έκανα κι εγώ την αλγεβρική πιο πάνω λύση.

Επειδή όμως το αποτέλεσμα ήταν "όμορφο" πίστεψα κι εγώ ότι θα έβρισκα μια εύκολη-Γεωμετρική κατασκευή.

: triplo thama.png (23.19 KiB) Προβλήθηκε 933 φορές

Όμως γελάστηκα! . Σε αναμονή επομένως.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #4

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 05, 2021 12:31 pm Τριπλό θαύμα.pngΠάνω στις πλευρές , τριγώνου , θεωρώ σημεία

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Βρείτε το μήκος , ώστε : $\widehat{PST}=\widehat{C}$ .

Ο περίκυκλος του τριγώνου PST

τέμνει την

στο

την

στο

και την

στο

και το

είναι εγγράψιμμο

Ισχύει BM.BA=BT.BC

απ όπου $BM= \dfrac{4x}{3}$ και τότε

$BP.BM=BQ.BT\Rightarrow (6-x) \dfrac{4x}{3}=BQx \Rightarrow BQ= \dfrac{24-4x}{3} \Rightarrow CQ= \dfrac{4x}{3}$

Επιπλέον από $AM . x=AN.(7-x) \Rightarrow AN= \dfrac{18x-4x^2}{3(7-x) } \Rightarrow CN= \dfrac{4x^2-39x+147}{3(7-x)}$

Τέλος από την CS.CN=CT.CQ

καταλήγουμε με απλές πράξεις στην εξίσωση $21x=77 \Rightarrow x= \dfrac{11}{3}$

: Τριπλό θαύμα.png (21.36 KiB) Προβλήθηκε 920 φορές

#5

Μιχάλης Τσουρακάκης έγραψε: Σάβ Μαρ 06, 2021 2:36 am
KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 05, 2021 12:31 pm Τριπλό θαύμα.pngΠάνω στις πλευρές , τριγώνου , θεωρώ σημεία

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Βρείτε το μήκος , ώστε : $\widehat{PST}=\widehat{C}$ .

Ο περίκυκλος του τριγώνου τέμνει την στο την στο και την στο και το είναι εγγράψιμμο

Ισχύει απ όπου $BM= \dfrac{4x}{3}$ και τότε

$BP.BM=BQ.BT\Rightarrow (6-x) \dfrac{4x}{3}=BQx \Rightarrow BQ= \dfrac{24-4x}{3} \Rightarrow CQ= \dfrac{4x}{3}$

Επιπλέον από $AM . x=AN.(7-x) \Rightarrow AN= \dfrac{18x-4x^2}{3(7-x) } \Rightarrow CN= \dfrac{4x^2-39x+147}{3(7-x)}$

Τέλος από την καταλήγουμε με απλές πράξεις στην εξίσωση $21x=77 \Rightarrow x= \dfrac{11}{3}$

Τριπλό θαύμα.png

Ιστοσελίδα · #6

KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 05, 2021 12:31 pm Πάνω στις πλευρές , τριγώνου , θεωρώ σημεία

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Βρείτε το μήκος , ώστε : $\widehat{PST}=\widehat{C}$ .

Καλησπέρα.

: shape.png (18.28 KiB) Προβλήθηκε 853 φορές

Ο περίκυκλος του $\triangleleft APS$ τέμνει την

στο

και έστω $E \equiv AD \cap BC$

Από το εγγεγραμμένο ASDP

δημιουργούνται τα ίσα τρίγωνα CST,APD

(Γ-Π-Γ), καθώς και τα όμοια τρίγωνα $EBA,ABC\,\,\& \,\,PSD,\,ACE$

Από 1ο θεώρημα Πτολεμαίου στο ASDP

παίρνω την εξίσωση: $\dfrac{{21k(7 - x)}}{4} + \dfrac{{7kx}}{2} = 7k(8 - x) \Leftrightarrow x = \dfrac{{11}}{3}$

#7

Μιχάλης Νάννος έγραψε: Κυρ Μαρ 07, 2021 6:53 pm
KARKAR έγραψε: Παρ Μαρ 05, 2021 12:31 pm Πάνω στις πλευρές , τριγώνου , θεωρώ σημεία

αντίστοιχα , τέτοια ώστε : . Βρείτε το μήκος , ώστε : $\widehat{PST}=\widehat{C}$ .
Καλησπέρα.shape.png
Ο περίκυκλος του $\triangleleft APS$ τέμνει την στο και έστω $E \equiv AD \cap BC$

Από το εγγεγραμμένο δημιουργούνται τα ίσα τρίγωνα (Γ-Π-Γ), καθώς και τα όμοια τρίγωνα $EBA,ABC\,\,\& \,\,PSD,\,ACE$

Από 1ο θεώρημα Πτολεμαίου στο παίρνω την εξίσωση: $\dfrac{{21k(7 - x)}}{4} + \dfrac{{7kx}}{2} = 7k(8 - x) \Leftrightarrow x = \dfrac{{11}}{3}$

Γειά σου Μιχάλη με τα ωραία σου !

. Πιο συχνά να σε βλέπουμε στο

Τριπλό θαύμα

Τριπλό θαύμα

Re: Τριπλό θαύμα

Re: Τριπλό θαύμα

Re: Τριπλό θαύμα

Re: Τριπλό θαύμα

Re: Τριπλό θαύμα

Re: Τριπλό θαύμα

Μέλη σε σύνδεση