Ελαχιστοποιήσεις

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποιήσεις.png (14.86 KiB) Προβλήθηκε 727 φορές

Στις πλευρές AB , BC , CD

, του διαστάσεων $8\times 6$ , ορθογωνίου ABCD

,

θεωρούμε σημεία P , S , T

αντίστοιχα , ώστε : AP=BS=CT

. Υπολογίστε

την ελάχιστη τιμή : α) του εμβαδού του τριγώνου STP

... β) της : $\tan\theta (=\widehat{PST})$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τρί Μαρ 16, 2021 1:12 pm Στις πλευρές , του διαστάσεων $8\times 6$ , ορθογωνίου ,

θεωρούμε σημεία αντίστοιχα , ώστε : . Υπολογίστε

την ελάχιστη τιμή : α) του εμβαδού του τριγώνου ... β) της : $\tan\theta (=\widehat{PST})$ .

Αν

τότε

$(PTS) = (PBCT) - (PBS)-(SCT) = \frac {1}{2}(ABCD) - \frac {1}{2}(8-x)x-\frac {1}{2}(6-x)x = 24-7x+x^2$ .

Ελάχιστη τιμή όταν $x= \frac {7}{2}$ οπότε τότε $(PTS)_{min} = \frac {47}{4}$ . Επίσης απο τα ορθογώνια τρίγωνα PBS, SCT

έχουμε

$\tan {PSB} = PB:BS = \frac {4,5}{3,5} = \frac {9}{7}$ και όμοια $\tan TSC = \frac {7}{5}$ . Άρα το άθροισμά τους έχει εφαπτομένη $\dfrac {\frac {9}{7}+\frac {7}{5}}{1- \frac {9}{7}\frac {7}{5}}= -\dfrac {47}{24}$

H ζητούμενη είναι η εφαπτομένη της παραπληρωματικής της, εδώ $\dfrac {47}{24}$ . Eλπίζω να μην έκανα λάθος πράξεις, πάντως η ουσία είναι εκεί.

#3

Για το β) ερώτημα.

: Ελαχιστοποιήσεις.Κ.png (11.23 KiB) Προβλήθηκε 685 φορές

$\displaystyle \tan \theta = \tan (\omega + \varphi ) = \dfrac{{\dfrac{{6 - x}}{x} + \dfrac{x}{{8 - x}}}}{{1 - \dfrac{{x(6 - x)}}{{x(8 - x)}}}} \Leftrightarrow \tan \theta = x + \dfrac{{24}}{x} - 7 \ge 2\sqrt {24} - 7$

Άρα, $\boxed{{(\tan \theta )_{\min }} = 4\sqrt 6 - 7}$ όταν $\boxed{x=2\sqrt 6}$

Ελαχιστοποιήσεις

Ελαχιστοποιήσεις

Re: Ελαχιστοποιήσεις

Re: Ελαχιστοποιήσεις

Μέλη σε σύνδεση