Διπλή ελαχιστοποίηση

KARKAR · #1

: Ελαχιστοποίηση τμήματος.png (7.57 KiB) Προβλήθηκε 798 φορές

Οι ημιευθείες

και

, είναι κάθετες στα άκρα τμήματος OQ=4

. Σημείο

κινείται επί της

,

έτσι ώστε : OS<4

. Η μεσοκάθετη του

τέμνει το

και την

στα σημεία P ,T

αντίστοιχα .

Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος

και το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου QPT

.

#2

KARKAR έγραψε: Σάβ Απρ 03, 2021 9:15 am Ελαχιστοποίηση τμήματος.pngΟι ημιευθείες και , είναι κάθετες στα άκρα τμήματος . Σημείο κινείται επί της ,

έτσι ώστε : . Η μεσοκάθετη του τέμνει το και την στα σημεία αντίστοιχα .

Υπολογίστε το ελάχιστο μήκος του τμήματος και το ελάχιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Η

τέμνει την

στο

Θέτω

και είναι $\displaystyle SQ = \sqrt {16 + {x^2}} \Leftrightarrow QM = \frac{{\sqrt {16 + {x^2}} }}{2}$

και από το εγγράψιμο OPMS,

έχω ${QM \cdot QS = 4QP \Leftrightarrow$ $\boxed{QP = \frac{{{x^2} + 16}}{8}}}$

Το KSTQ

είναι παραλληλόγραμμο, άρα $\displaystyle KO + x = QT.$ Αλλά, $\displaystyle \frac{{OP}}{{PQ}} = \frac{{KO}}{{QT}} \Leftrightarrow \frac{{16 - {x^2}}}{{16 + {x^2}}} = \frac{{QT - x}}{{QT}} \Leftrightarrow$

$\boxed{QT = \frac{{{x^2} + 16}}{{2x}}}$ Τώρα προχωράμε στα ερωτήματα:

: Ελαχιστοποιήσεις.ΚΑ.png (10.68 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

α) Με Π. Θ $\displaystyle PT = f(x) = \frac{{{x^2} + 16}}{{8x}}\sqrt {{x^2} + 16}$ και παράγωγο $\displaystyle f'(x) = \frac{{({x^2} - 8)\sqrt {{x^2} + 16} }}{{4{x^2}}},$

απ' όπου έχουμε για $\boxed{ x = 2\sqrt 2}$ ελάχιστη τιμή $\boxed{ {(PT)_{\min }} = 3\sqrt 3 }$

β) $\displaystyle (QPT) = E(x) = \frac{{{{({x^2} + 16)}^2}}}{{32x}}$ με $\displaystyle E'(x) = \frac{{3{x^4} + 32{x^2} - 256}}{{32{x^2}}},$

απ' όπου έχουμε για $\boxed{ x = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}}$ ελάχιστη τιμή $\boxed{ {(QPT)_{\min }} = \frac{{32\sqrt 3 }}{9}}$

Διπλή ελαχιστοποίηση

Διπλή ελαχιστοποίηση

Re: Διπλή ελαχιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση