Μέγιστο ύψος

KARKAR · #1

: Μέγιστο ύψος.png (8.62 KiB) Προβλήθηκε 661 φορές

Τα ομόκεντρα τεταρτοκύκλια του σχήματος έχουν μεταβλητές ακτίνες OA=R

και

,

οι οποίες όμως έχουν σταθερό άθροισμα : R+r=8

. Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα

και το κάθετο

προς την

, τμήμα

. Υπολογίστε το μέγιστο μήκος του τμήματος

.

#2

Με το σχήμα του Θανάση.

: Μέγιστο ύψος.png (8.62 KiB) Προβλήθηκε 646 φορές

Έστω $\displaystyle T\left( {{x_0},{y_0}} \right)$ με $\displaystyle 0 < {x_0},\;{y_0} < 4,\;\;x_0^2 + y_0^2 = {r^2}$

Είναι $\displaystyle TA:\;x{x_0} + y{y_0} = {r^2} \Rightarrow R{x_0} = {r^2} \Leftrightarrow {x_0} = \frac{{{r^2}}}{R}$ (*)

$\displaystyle T{S^2} = {x_0}\left( {R - {x_0}} \right) = \frac{{{r^2}}}{R}\left( {R - \frac{{{r^2}}}{R}} \right)$

$\displaystyle = \frac{{{r^2}\left( {{R^2} - {r^2}} \right)}}{{{R^2}}} = {r^2} - \frac{{{r^4}}}{{{{\left( {8 - r} \right)}^2}}} = \frac{{64{r^2} - 16{r^3}}}{{{{\left( {8 - r} \right)}^2}}}$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( x \right) = \frac{{64{x^2} - 16{x^3}}}{{{{\left( {8 - x} \right)}^2}}},\;\;x \in \left( {0,4} \right)$ έχει παράγωγο $\displaystyle f'\left( x \right) = \frac{{16x\left( {{x^2} - 24x + 64} \right)}}{{{{\left( {8 - x} \right)}^3}}}$

Είναι $\displaystyle f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 4\left( {3 - \sqrt 5 } \right)$ , όπου παρουσιάζει μέγιστο, με τιμή περίπου 5,77

, οπότε $\displaystyle T{S_{\max }} \cong \sqrt {5,77}$ .

(*) Βεβαίως η ίδια σχέση προκύπτει και γεωμετρικά από τις μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο TOA

. Νόμιζα ότι θα προλάβουν οι εκλεκτοί γεωμέτρες μας και είπα να δώσω άλλη προσέγγιση για να μην επικαλυπτόνται οι λύσεις μας.

#3

KARKAR έγραψε: ↑
Σάβ Μάιος 08, 2021 11:42 am
Μέγιστο ύψος.pngΤα ομόκεντρα τεταρτοκύκλια του σχήματος έχουν μεταβλητές ακτίνες και ,

οι οποίες όμως έχουν σταθερό άθροισμα : . Φέρουμε το εφαπτόμενο τμήμα και το κάθετο

προς την , τμήμα . Υπολογίστε το μέγιστο μήκος του τμήματος .

Όπως προτείνει στην υποσημείωση ο Γιώργος Ρίζος.

: Μέγιστο ύψος.K4.png (10.43 KiB) Προβλήθηκε 624 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} {r^2} = OS \cdot R\\ \\ T{S^2} = {r^2} - O{S^2} \end{array} \right. \Rightarrow T{S^2} = {r^2} - \frac{{{r^4}}}{{{R^2}}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{R + r = 8}$ $\boxed{T{S^2} = \frac{{16{r^2}(4 - r)}}{{{{(8 - r)}^2}}}}$

Τα υπόλοιπα όπως ο Γιώργος. Μέγιστη τιμή $\boxed{T{S_{\max }} = 4\sqrt {10\sqrt 5 - 22}}$ για $\boxed{r = 4(3 - \sqrt 5 )}$

Μέγιστο ύψος

Μέγιστο ύψος

Re: Μέγιστο ύψος

Re: Μέγιστο ύψος

Μέλη σε σύνδεση