Ελάχιστη περίμετρος

#1

: Ελάχιστη περίμετρος..png (14.37 KiB) Προβλήθηκε 792 φορές

Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο $ABC (\widehat A=90^\circ)$ με $\widehat C=60^\circ$ και AC=1.

Το σημείο

ανήκει στο τόξο $\overset\frown {AB}$

του κύκλου που διέρχεται από το

και εφάπτεται της

στο

Τα σημεία

βρίσκονται πάνω στις πλευρές

AC, BC

αντίστοιχα. Να βρείτε την ελάχιστη περίμετρο του τριγώνου DE F

και τις θέσεις των σημείων D, E, F.

#2

Πρόβλημα ελάχιστου δρόμου άρα πρόβλημα διαδρομής του φωτός .

Μια προσπάθεια κατασκευής των σημείων που πιστεύω ότι δίδει λύση στο πρόβλημα αλλά δεν την έχω ακόμα τεκμηριωμένη .

Σταθερό είναι το σημείο

που η διακεντρική ευθεία

τέμνει το δεδομένο τόξο , αλλά και το σημείο

που η μεσοκάθετος του

τέμνει την

.

: Ελάχιστη περίμετρος.png (15.39 KiB) Προβλήθηκε 741 φορές

Προφανώς η μεσοκάθετη αυτή θα διέρχεται από το

. Τότε

.

Τώρα το

προκύπτει από το κλασσικό πρόβλημα του μπιλιάρδου .

Δηλαδή θεωρούμε το συμμετρικό

του

ως προς την

και η

τέμνει την

στο

.

Οι υπολογισμοί μετά δίνουν: $\boxed{{{\left( {DE + EF + FD} \right)}_{\min }} = \sqrt {21} - 3}$

Ανάλυση: Έστω λυμένο το πρόβλημα

: Ελάχιστη περίμετρός _new_Ανάλυση.png (24.25 KiB) Προβλήθηκε 700 φορές

Ας είναι $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ τα συμμετρικά του

ως προς τις $CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CA$ τότε η περίμετρος του τριγώνου FED

θα είναι το άθροισμα :

TF + FE + ES

που για να γίνεται ελάχιστη πρέπει τα σημεία T,F,E,S

να ανήκουν στην ίδια ευθεία .

Άρα σύμφωνα με τους νόμους της φυσικής το

θα ανήκει στη διχοτόμο της $\widehat {FDE}$

και αυτό θα συμβεί αν το

είναι το σημείο τομής του τόξου με την διακεντρική ευθεία

η κατασκευή γίνεται τώρα ακόμα πιο εύκολα .

Ενώνω τα σταθερά S,T

και προκύπτουν τα E,F

#3

Doloros έγραψε: Κυρ Μάιος 16, 2021 11:33 pm Πρόβλημα ελάχιστου δρόμου άρα πρόβλημα διαδρομής του φωτός .

Μια προσπάθεια κατασκευής των σημείων που πιστεύω ότι δίδει λύση στο πρόβλημα αλλά δεν την έχω ακόμα τεκμηριωμένη .

Σταθερό είναι το σημείο που η διακεντρική ευθεία τέμνει το δεδομένο τόξο , αλλά και το σημείο που η μεσοκάθετος του τέμνει την .

Ελάχιστη περίμετρος.png

Προφανώς η μεσοκάθετη αυτή θα διέρχεται από το . Τότε .

Τώρα το προκύπτει από το κλασσικό πρόβλημα του μπιλιάρδου .

Δηλαδή θεωρούμε το συμμετρικό του ως προς την και η τέμνει την στο .

Οι υπολογισμοί μετά δίνουν: $\boxed{{{\left( {DE + EF + FD} \right)}_{\min }} = \sqrt {21} - 3}$

Ανάλυση: Έστω λυμένο το πρόβλημα
Ελάχιστη περίμετρός _new_Ανάλυση.png

Ας είναι $T\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S$ τα συμμετρικά του ως προς τις $CB\,\,\kappa \alpha \iota \,\,CA$ τότε η περίμετρος του τριγώνου θα είναι το άθροισμα :

που για να γίνεται ελάχιστη πρέπει τα σημεία να ανήκουν στην ίδια ευθεία .

Άρα σύμφωνα με τους νόμους της φυσικής το θα ανήκει στη διχοτόμο της $\widehat {FDE}$

και αυτό θα συμβεί αν το είναι το σημείο τομής του τόξου με την διακεντρική ευθεία

η κατασκευή γίνεται τώρα ακόμα πιο εύκολα .

Ενώνω τα σταθερά και προκύπτουν τα

: Άρχοντας.jpg (20.06 KiB) Προβλήθηκε 663 φορές

Ο Άρχοντας των κατασκευών

#4

Διαφορετικά για τον εντοπισμό του σημείου

(χωρίς τους νόμους της Φυσικής).

: Ελάχιστη περίμετρος.β.png (11.82 KiB) Προβλήθηκε 612 φορές

Από νόμο συνημιτόνου στο $\displaystyle CST$ έχω $\displaystyle {ST^2} = C{S^2} + C{T^2} - 2CS \cdot CT\cos 120^\circ.$ Αλλά, CS=CT=CD,

οπότε $\boxed{ST=CD\sqrt 3}$ Άρα η περίμετρος ελαχιστοποιείται όταν ελαχιστοποιείται το μήκος του

και αυτό συμβαίνει

όταν η ευθεία

διέρχεται από το κέντρο

του κύκλου. Συνεχίζοντας τώρα τον υπολογισμό, είναι:

$\displaystyle C{B^2} = {(R + CD)^2} - {R^2} \Leftrightarrow 4 = 3 + 2\sqrt 3 CD + C{D^2} - 3 \Leftrightarrow CD = \sqrt 7 - \sqrt 3$

και με αντικατάσταση $\boxed{S{T_{\min }} = \sqrt {21} - 3}$

Χρησιμοποιήθηκε ότι $R=\sqrt 3.$ Προφανές, αφού $AB=\sqrt 3$ και $A\widehat BO=60^\circ.$

Ελάχιστη περίμετρος

Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Re: Ελάχιστη περίμετρος

Μέλη σε σύνδεση