Μέγιστο εμβαδόν 32

KARKAR · #1

: Μέγιστο εμβαδόν 32.png (12.77 KiB) Προβλήθηκε 787 φορές

Ονομάσαμε

τις προβολές των κορυφών A , B

του ορθογωνίου τριγώνου OAB

, σε ευθεία ,

η οποία διέρχεται από την αρχή

. Αν

είναι το μέσο της

, υπολογίστε το : $(MA'B')_{max}$ .

#2

Γενικά

Έστω δύο σταθερά σημεία $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B$ στις πλευρές ορθής γωνίας $\widehat {xOy}$ .

$A'\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B'$ οι προβολές των $A\,\,\kappa \alpha \iota \,\,B\,\,$ σε τυχαία ευθεία διερχομένη από το

.

Αν

το μέσο του

να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του $\vartriangle MA'B'$ .

Ανάλυση

Ας είναι

η προβολή του

στην

. Θα είναι AA'//BB'//MS

συνεπώς :

$\left( {MB'A'} \right) = \left( {MB'S} \right) + \left( {MA'S} \right) = \left( {MBS} \right) + \left( {MAS} \right) = \left( {SAB} \right)$ $\left( * \right)$ .

Το

ανήκει πάντα στο σταθερό κύκλο διαμέτρου

. Έστω

το κέντρο αυτού του κύκλου . Ο κύκλος αυτός τέμνει , ακόμα την

στο

.

: Μέγιστο εμβαδόν 32_γεινίκευση.png (28.67 KiB) Προβλήθηκε 745 φορές

Το τρίγωνο SAB

έχει σταθερή βάση

συνεπώς το εμβαδόν του γίνεται μέγιστο όταν η απόσταση του

από την

γίνει μέγιστη .

Αυτό θα συμβεί όταν το

ανήκει και στην σταθερή μεσοκάθετο του

.

Εύκολα προκύπτει ότι τότε : $\boxed{\widehat {SOA} = 45^\circ }$ . ( Δείτε αυτή) . $\boxed{{{\left( {MA'B'} \right)}_{\max }} = M{S^2}}$ .

Πάμε τώρα στην άσκηση του Θανάση .

: Μέγιστο εμβαδόν 32_ok.png (15.78 KiB) Προβλήθηκε 745 φορές

Η ευθεία $AB \to 3x + 4y - 12 = 0$ . $M\left( {2,\dfrac{3}{2}} \right)\,\,$ , $A'B' \to kx - y = 0$ , $MS \to y - \dfrac{3}{2} = - \dfrac{1}{k}\left( {x - 2} \right)$ . Από το σύστημά τους έχω:

${x_S} = \dfrac{{3k + 4}}{{2\left( {{k^2} + 1} \right)}}\,\,\,\,\left( 1 \right)\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,{y_S} = \dfrac{{3{k^2} + 4k}}{{2\left( {{k^2} + 1} \right)}}\,\,\,\left( 2 \right)$

και έτσι $d = d\left( {S,AB} \right) = \dfrac{{\left| {3{x_S} + 4{y_S} - 12} \right|}}{5}$ που λόγω των $\left( 1 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,\,\left( 2 \right)$ για τη

συνάρτηση $d = f\left( k \right) = \dfrac{{\left| {12{k^2} - 25k + 12} \right|}}{{10\left( {{k^2} + 1} \right)}}$ έχω μέγιστο για $\boxed{k = - 1}$ το $\boxed{f\left( { - 1} \right) = \dfrac{{49}}{{20}}\,\,}$

και το μέγιστο εμβαδόν που θέλω είναι : $\boxed{{{\left( {SAB} \right)}_{\max }} = \dfrac{1}{2} \cdot 5 \cdot \dfrac{{49}}{{20}} = \dfrac{{49}}{8}}$ .

#3

KARKAR έγραψε: Δευ Ιουν 21, 2021 6:11 pm Μέγιστο εμβαδόν 32.pngΟνομάσαμε τις προβολές των κορυφών του ορθογωνίου τριγώνου , σε ευθεία ,

η οποία διέρχεται από την αρχή . Αν είναι το μέσο της , υπολογίστε το : $(MA'B')_{max}$ .

Έστω $\displaystyle A'B':y = \lambda x.$ Είναι $\displaystyle M\left( {2,\frac{3}{2}} \right)$ και από τις καθετότητες εύκολα προσδιορίζουμε

τα σημεία $\displaystyle A'\left( {\frac{4}{{{\lambda ^2} + 1}},\frac{{4\lambda }}{{{\lambda ^2} + 1}}} \right),B'\left( {\frac{{3\lambda }}{{{\lambda ^2} + 1}},\frac{{3{\lambda ^2}}}{{{\lambda ^2} + 1}}} \right)$

: Μέγιστο εμβαδόν.32.png (12.77 KiB) Προβλήθηκε 696 φορές

$\displaystyle (MA'B') = \frac{1}{2}|\det (\overrightarrow {MA'} ,\overrightarrow {MB'} )| = \frac{{|12{\lambda ^4} - 25{\lambda ^3} + 24{\lambda ^2} - 25\lambda + 12|}}{{4({\lambda ^2} + 1)^2}} =$

$\displaystyle \frac{{({\lambda ^2} + 1)|12({\lambda ^2} + 1) - 25\lambda |}}{{4{{({\lambda ^2} + 1)}^2}}} = \left| {3 - \frac{{25\lambda }}{{4({\lambda ^2} + 1)}}} \right| \le 3 + \frac{{25}}{4}\left| {\frac{\lambda }{{{\lambda ^2} + 1}}} \right| \le 3 + \frac{{25}}{8} = \frac{{49}}{8} \Leftrightarrow$

$\boxed{{(MA'B')_{\max }} = \frac{{49}}{8}}$ όταν $\boxed{\lambda=-1}$ (Η ευθεία $\displaystyle A'B':x = 0$ δίνει μικρότερο εμβαδόν).

Μέγιστο εμβαδόν 32

Μέγιστο εμβαδόν 32

Re: Μέγιστο εμβαδόν 32

Re: Μέγιστο εμβαδόν 32

Μέλη σε σύνδεση