Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

#141

socrates έγραψε: Τρί Απρ 14, 2020 12:35 am
Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Απρ 14, 2020 12:27 am Άσκηση 40

Έστω πολυώνυμο με πραγματικούς συντελεστές συντελεστές τέτοιο ώστε $\displaystyle{P(2)+P(8)<100<P(3)+P(7)}$ . Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε και

Η σωστή λύση είναι δυο-τρεις γραμμές.

Μπολζάνο στην $\displaystyle{P(x)+P(10-x)-100=0}$

Ακριβώς αυτό είχα κατά νου. Ας συμπληρώσω για όφελος των μαθητών μας το αυτονόητο που λείπει: Υπάρχει $\xi$ με $P(\xi)+P(10-\xi)=100$ . Παίρνω λοιπόν $a=\xi, \, b=10-\xi$ . Τελειώσαμε.

#142

Άσκηση 41

Έστω ότι για δύο πολυώνυμα $ax^2+bx+c, \, Ax^2+Bx+C, \, a\ne 0\ne A$ υπάρχει μία συνάρτηση $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ τέτοια ώστε για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει . Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $p,\,q$ και διάστημα της μορφής $(-\infty ,\, t]$ ή της μορφής $[t,\,\infty)$ , τέτοια ώστε για κάθε $x\in I$ .

Με παράδειγμα δείξτε ότι δεν μπορούμε κατ' ανάγκη να πάρουμε $I=\mathbb R$ .

#143

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Απρ 14, 2020 10:29 am Άσκηση 41

Έστω ότι για δύο πολυώνυμα $ax^2+bx+c, \, Ax^2+Bx+C, \, a\ne 0\ne A$ υπάρχει μία συνάρτηση $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ τέτοια ώστε για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει . Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $p,\,q$ και διάστημα της μορφής $(-\infty ,\, t]$ ή της μορφής $[t,\,\infty)$ , τέτοια ώστε για κάθε $x\in I$ .

Με παράδειγμα δείξτε ότι δεν μπορούμε κατ' ανάγκη να πάρουμε $I=\mathbb R$ .

Υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#144

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Απρ 14, 2020 10:29 am Άσκηση 41

Έστω ότι για δύο πολυώνυμα $ax^2+bx+c, \, Ax^2+Bx+C, \, a\ne 0\ne A$ υπάρχει μία συνάρτηση $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ τέτοια ώστε για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει . Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $p,\,q$ και διάστημα της μορφής $(-\infty ,\, t]$ ή της μορφής $[t,\,\infty)$ , τέτοια ώστε για κάθε $x\in I$ .

Με παράδειγμα δείξτε ότι δεν μπορούμε κατ' ανάγκη να πάρουμε $I=\mathbb R$ .

Εκμεταλλευόμαστε το γεγονός ότι υπάρχουν

για τα οποία η ax^2+bx+c

παίρνει την ίδια τιμή (αυτό είναι αυτονόητο αφού το γράφημά της έχει σχήμα U). Τέτοιες π.χ. είναι οι $x=0,\, x=-\frac {b}{a}$ , όπου η κοινή τιμή είναι

.

Από την υπόθεση, για αυτά τα

έχουμε, αντίστοιχα,

f(c)= C

και $f(c)= A(-\frac {b}{a})^2+B(-\frac {b}{a})+C$ .

Άρα $A(-\frac {b}{a})^2+B(-\frac {b}{a})=0$ .

Ειδικά αν $b\ne 0$ έπεται $B= \frac {Ab}{a}$ (την περίπτωση b=0

θα την δούμε χωριστά). Άρα

$f(ax^2+bx+c)= Ax^2+Bx+C= Ax^2+ \frac {Ab}{a}x+ C = \frac {A}{a} (ax^2+bx+c) + C- \frac {Ac}{a}$ .

H τελευταία λέει ότι για κάθε

στο σύνολο τιμών της ax^2+bx+c

, που είναι βέβαια της μορφής $(-\infty ,\, t]$ ή της μορφής $[t,\,\infty)$ , έχουμε

$f(y)= \frac {A}{a} y + C- \frac {Ac}{a}$ , όπως θέλαμε με $p = \frac {A}{a}, \, q= C- \frac {Ac}{a}$

Αν b=0

, τότε στην αρχική σχέση που τώρα είναι f(ax^2+c)= Ax^2+Bx+C

, θέτουμε $x=\pm 1$ . Έπεται

A+B+C=f(a1^2+c)=f(a(-1)^2+c) = A-B+C

, oπότε

, και η δοθείσα γίνεται

$f(ax^2+c)= Ax^2+C= \frac {A}{a}(ax^2+c)+C- \frac {Ac}{a}$ , και λοιπά, όπως πριν.

Για το τελευταίο ερώτημα: Μπορούμε να δώσουμε στην

οποιαδήποτε τιμή έξω από το σύνολο τιμών της ax^2+bx+c

. Έτσι η αρχική σχέση δεν χαλάει αλλά η

δεν είναι της μορφής px+q

.

#145

Άσκηση 42

Δείξτε ότι υπάρχουν άπειροι το πλήθος ρητοί αριθμοί έτσι ώστε η εξίσωση να έχει τουλάχιστον δύο (διαφορετικές) ρητές ρίζες.

Σχόλιο: Αν την δεις σωστά, λύνεται σε δυο-τρεις γραμμές. Προσιτή και στους Juniors.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #146

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Απρ 21, 2020 9:58 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Απρ 14, 2020 10:29 am Άσκηση 41

Έστω ότι για δύο πολυώνυμα $ax^2+bx+c, \, Ax^2+Bx+C, \, a\ne 0\ne A$ υπάρχει μία συνάρτηση $f:\mathbb R\rightarrow \mathbb R$ τέτοια ώστε για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει . Δείξτε ότι υπάρχουν πραγματικοί αριθμοί $p,\,q$ και διάστημα της μορφής $(-\infty ,\, t]$ ή της μορφής $[t,\,\infty)$ , τέτοια ώστε για κάθε $x\in I$ .

Με παράδειγμα δείξτε ότι δεν μπορούμε κατ' ανάγκη να πάρουμε $I=\mathbb R$ .
Υπόδειξη:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ
Εξετάστε πρώτα δύο τιμές του $x_1,\,x_2$ του για τις οποίες ισχύει . Π.χ. οι είναι τέτοιες.

Λίγο διαφορετικά και σύντομα.
Παρατηρούμε ότι το πρώτο μέλος παίρνει τις ίδιες τιμές για τα

και $-x-\frac{b}{a}$ .
Το ίδιο θα κάνει και το δεύτερο μέλος.
Κάνοντας αντικατάσταση εξισώνοντας καταλήγουμε στο ότι
$B=A\frac{b}{a}$
Αντικαθιστώντας παίρνουμε ότι
$f(ax^2+bx+c)= A\frac{ax^2+bx+c}{a}+C-\frac{cA}{a}$
και όλα γίνονται εύκολα.
Να σημειώσουμε ότι η

είναι γνωστή στο πεδίο τιμών του ax^2+bx+c

.
Εκτός αυτού μπορεί να πάρει ότι τιμή θέλει.

#147

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Ιούλ 28, 2020 10:47 am Άσκηση 42

Δείξτε ότι υπάρχουν άπειροι το πλήθος ρητοί αριθμοί έτσι ώστε η εξίσωση να έχει τουλάχιστον δύο (διαφορετικές) ρητές ρίζες.

Σχόλιο: Αν την δεις σωστά, λύνεται σε δυο-τρεις γραμμές. Προσιτή και στους Juniors.

Ξεχάστηκε. Επαναφορά.

#148

Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Ιούλ 28, 2020 10:47 am Άσκηση 42

Δείξτε ότι υπάρχουν άπειροι το πλήθος ρητοί αριθμοί έτσι ώστε η εξίσωση να έχει τουλάχιστον δύο (διαφορετικές) ρητές ρίζες.

H εξίσωση γράφεται $\displaystyle{ p =-\dfrac {x^6+2x^3+1}{x^5+x}}$ . Παρατηρούμε ότι αν δώσουμε στο

μία ρητή τιμή, ας πούμε $x=a \in \mathbb Q$ , τότε το αντίστοιχο

είναι ρητός αριθμός. Άρα γι' αυτό το (ρητό)

η αρχική εξίσωση έχει ρητή ρίζα (την x=a

). Με άλλα λόγια βρήκαμε άπειρα το πλήθος ρητά

όπου η εξίσωση έχει τουλάχιστον μία ρητή ρίζα. Αλλά δεν τελειώσαμε, γιατί θέλουμε να έχει τολάχιστον δύο ρητές ρίζες. Αλλά αυτό είναι άμεσο γιατί αν

ριζα της εξίσωσης, τότε (εδώ είναι το κλειδί) και η $\dfrac {1}{a}$ είναι ρίζα. Πράγματι

$\displaystyle{\left (\dfrac {1}{a} \right) ^6 +p \left (\dfrac {1}{a} \right)^5 +2\left (\dfrac {1}{a} \right)^3 +p\left (\dfrac {1}{a} \right) +1= \dfrac {1}{a^6} \left (1 +pa +2a^3 +pa^5 +a^6\right) =0}$ . Τελειώσαμε.

#149

Άσκηση 43

Έστω δύο μη σταθερά πραγματικά πολυώνυμα τέτοια ώστε για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει (το (συμβολίζει "ακέραιο μέρος"). Δείξτε ότι τα πολυώνυμα είναι ίσα.

Σχόλιο: Αν την δεις σωστά, λύνεται σε δυο-τρεις γραμμές.

Εdit: Έκανα διόρθωση στην εκφώνηση. 'Αλλαξα το $n\in \mathbb N$ σε $x\in \mathbb R$ . Απολογούμαι. Μάλλον ώρα να πάω για ύπνο...

Και αργότερα: Πρόσθεσα την απαραίτητη φράση "μη σταθερά".

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #150

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Ιούλ 10, 2021 10:56 pm Άσκηση 43

Έστω δύο πραγματικά πολυώνυμα τέτοια ώστε για κάθε $n\in \mathbb N$ ισχύει (το (συμβολίζει "ακέραιο μέρος"). Δείξτε ότι τα πολυώνυμα είναι ίσα.

Σχόλιο: Αν την δεις σωστά, λύνεται σε δυο-τρεις γραμμές.

#151

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ έγραψε: Σάβ Ιούλ 10, 2021 11:44 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Ιούλ 10, 2021 10:56 pm Άσκηση 43

Έστω δύο πραγματικά πολυώνυμα τέτοια ώστε για κάθε $n\in \mathbb N$ ισχύει (το (συμβολίζει "ακέραιο μέρος"). Δείξτε ότι τα πολυώνυμα είναι ίσα.

Σχόλιο: Αν την δεις σωστά, λύνεται σε δυο-τρεις γραμμές.

Σωστά. Η εκφώνηση ήταν ελλειπής αλλά τώρα έκανα διόρθωση.

Ευχαριστώ για την επισήμανση. Την ίδια επισήμανση μου έκανε και ο Δημήτρης (Demetres) με Π.Μ., τον οποίο επισης ευχαριστώ.

#152

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Ιούλ 10, 2021 10:56 pm Άσκηση 43

Έστω δύο πραγματικά πολυώνυμα τέτοια ώστε για κάθε $x\in \mathbb R$ ισχύει (το (συμβολίζει "ακέραιο μέρος"). Δείξτε ότι τα πολυώνυμα είναι ίσα.

Σχόλιο: Αν την δεις σωστά, λύνεται σε δυο-τρεις γραμμές.

Εdit: Έκανα διόρθωση στην εκφώνηση. 'Αλλαξα το $n\in \mathbb N$ σε $x\in \mathbb R$ . Απολογούμαι. Μάλλον ώρα να πάω για ύπνο...

Ας υποθέσουμε επιπλέον ότι τα P(x),Q(x)

δεν είναι σταθερά αλλιώς πάλι έχουμε το αντιπαράδειγμα P(x) = 0, Q(x) = 1/2

.

Το πολυώνυμο P(x)-Q(x)

είναι φραγμένο, άρα και σταθερό. Έστω P(x) = Q(x) + c

όπου χωρίς βλάβη της γενικότητας $c \geqslant 0$ . Αφού το Q(x)

είναι μη σταθερό, θα είναι επί σε κάποιο άπειρο διάστημα

. Άρα θα υπάρχει $t \in \mathbb{R}$ ώστε Q(t) = n-c

για κάποιο $n \in \mathbb{N}$ . Αν c > 0

, τότε από τη μία θα έχουμε [Q(t)] < n

αλλά από την άλλη θα έχουμε [P(t)] = [Q(t)+c] = n

, άτοπο. Άρα c=0

και

για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

#153

Demetres έγραψε: Κυρ Ιούλ 11, 2021 12:38 pm Ας υποθέσουμε επιπλέον ότι τα δεν είναι σταθερά αλλιώς πάλι έχουμε το αντιπαράδειγμα .

Ορθόν. Ευχαριστώ. Το διόρθωσα και στη αρχική εκφώνηση.

Demetres έγραψε: Κυρ Ιούλ 11, 2021 12:38 pm Το πολυώνυμο είναι φραγμένο, άρα και σταθερό. Έστω όπου χωρίς βλάβη της γενικότητας $c \geqslant 0$ . Αφού το είναι μη σταθερό, θα είναι επί σε κάποιο άπειρο διάστημα . Άρα θα υπάρχει $t \in \mathbb{R}$ ώστε για κάποιο $n \in \mathbb{N}$ . Αν , τότε από τη μία θα έχουμε αλλά από την άλλη θα έχουμε , άτοπο. Άρα και για κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Ας προσθέσω ότι στην αρχική (ελλειπή) εκφώνηση είχα ότι για κάθε $n \in \mathbb N$ ισχύει [P(n)]=[Q(n)]

. Σε αυτή την περίπτωση το συμπέρασμα είναι ότι τα P,Q

διαφέρουν κατά σταθερά. Η λύση του Δημήτρη το δείχνει αυτό.

Δυστυχώς παίρνοντας μισή εκφώνηση από μία εκδοχή της άσκησης και μισή από άλλη, μπερδεύτηκα και έγραψα την ελλειπή διατύπωση.

Ας πρόσεχα κι απολογούμαι.

#154

Άσκηση 44

Να βρεθεί πολυώνυμο βαθμού για το οποίο ισχύει

$P(0)=2020,\, P(1)=2019,\, P(2)=2018,\, \, ... \, , \, P(2020) =0$

Σχόλιο: Απλή αν την δεις σωστά. Λύνεται σε δυο-τρεις γραμμές. Προσιτή και στους Juniors.

#155

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Ιούλ 12, 2021 10:49 pm Άσκηση 44

Να βρεθεί πολυώνυμο βαθμού για το οποίο ισχύει

$P(0)=2020,\, P(1)=2019,\, P(2)=2018,\, \, ... \, , \, P(2020) =0$

Σχόλιο: Απλή αν την δεις σωστά. Λύνεται σε δυο-τρεις γραμμές. Προσιτή και στους Juniors.

Επαναφορά.

#156

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Ιούλ 26, 2021 10:00 pm
Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Ιούλ 12, 2021 10:49 pm Άσκηση 44

Να βρεθεί πολυώνυμο βαθμού για το οποίο ισχύει

$P(0)=2020,\, P(1)=2019,\, P(2)=2018,\, \, ... \, , \, P(2020) =0$

Σχόλιο: Απλή αν την δεις σωστά. Λύνεται σε δυο-τρεις γραμμές. Προσιτή και στους Juniors.
Επαναφορά.

Αν θέλαμε να είναι πρώτου βαθμού, τότε το P(x)=2020-x

μας έκανε μια χαρά. Για να φτάσουμε σε πολυώνυμο 2021-

οστού βαθμού χωρίς να αλλάξουν οι τιμές που θέλουμε αρκεί να προσθέσουμε το $x(x-1)(x-2)\cdots (x-2020)$ που είναι 2021-

ου βαθμού. Άρα

$P(x)=x(x-1)\cdots (x-2020) -x+2020$ .

#157

Mihalis_Lambrou έγραψε: Δευ Ιούλ 26, 2021 10:00 pm Άσκηση 44

Να βρεθεί πολυώνυμο βαθμού για το οποίο ισχύει

$P(0)=2020,\, P(1)=2019,\, P(2)=2018,\, \, ... \, , \, P(2020) =0$

achilleas έγραψε: Δευ Ιούλ 26, 2021 11:11 pm Αν θέλαμε να είναι πρώτου βαθμού, τότε το μας έκανε μια χαρά. Για να φτάσουμε σε πολυώνυμο οστού βαθμού χωρίς να αλλάξουν οι τιμές που θέλουμε αρκεί να προσθέσουμε το $x(x-1)(x-2)\cdots (x-2020)$ που είναι ου βαθμού. Άρα

$P(x)=x(x-1)\cdots (x-2020) -x+2020$ .

Απειροελάχιστη παραλλαγή της λύσης: Παρατηρούμε ότι πολυώνυμο P(x) + x -2020

είναι βαθμού 2021

και (από τις δοθείσες) έχει ρίζες τους 2021

αριθμούς

. Άρα για κάποιο $a\ne 0$ είναι $P(x)+x-2021 = ax(x-1)(x-2)\cdots (x-2020)$ . Και λοιπά.

#158

Άσκηση 45

Ένα πολυώνυμο είναι της μορφής $\displaystyle{p(x) = \pm x^5\pm x^4 \pm x^3\pm x^2\pm x\pm 1}$ για κάποια επολογή των προσήμων. Αν , να βρεθεί πολυώνυμο.

Κάνει και για Juniors.

giannispapav · #159

Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Ιούλ 31, 2021 12:39 am Άσκηση 45

Ένα πολυώνυμο είναι της μορφής $\displaystyle{p(x) = \pm x^5\pm x^4 \pm x^3\pm x^2\pm x\pm 1}$ για κάποια επολογή των προσήμων. Αν , να βρεθεί πολυώνυμο.

Κάνει και για Juniors.

Είναι

(με δοκιμές)

#160

giannispapav έγραψε: Σάβ Ιούλ 31, 2021 12:45 am
Mihalis_Lambrou έγραψε: Σάβ Ιούλ 31, 2021 12:39 am Άσκηση 45

Ένα πολυώνυμο είναι της μορφής $\displaystyle{p(x) = \pm x^5\pm x^4 \pm x^3\pm x^2\pm x\pm 1}$ για κάποια επολογή των προσήμων. Αν , να βρεθεί πολυώνυμο.

Κάνει και για Juniors.
Είναι (με δοκιμές)

Αυτή είναι μία λύση. Πρέπει να τις βρεις όλες ή να δείξεις ότι δεν υπάρχουν άλλες.

Εννοείται ότι τα καλά Μαθηματικά απαιτούν να μην κάνουμε

δοκιμές, όπως έκανες. Αν επιμένεις, τότε θα βάλω ένα πολυώνυμο βαθμού

και άντε να δω πώς θα κάνεις τις 2048

δοκιμές.

Θεωρώ ότι η άσκηση είναι ακόμη ανοικτή.

Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Re: Πολυώνυμα - Συλλογή Ασκήσεων

Μέλη σε σύνδεση