Εγκλωβισμένο τμήμα

KARKAR · #1

: Εγκλωβισμένο τμήμα.png (13.41 KiB) Προβλήθηκε 326 φορές

Συνδέουμε σημείο

, το οποίο κινείται στον κύκλο : x^2+y^2=9

, με το σημείο S(1,0)

.

Θεωρούμε σημείο

του κύκλου , τέτοιο ώστε : PT=PS

. Η

επανατέμνει τον κύκλο

στο σημείο

. Βρείτε τις ακρότατες τιμές του μήκους του τμήματος

.

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 21, 2021 6:14 pm Εγκλωβισμένο τμήμα.pngΣυνδέουμε σημείο , το οποίο κινείται στον κύκλο : , με το σημείο .

Θεωρούμε σημείο του κύκλου , τέτοιο ώστε : . Η επανατέμνει τον κύκλο

στο σημείο . Βρείτε τις ακρότατες τιμές του μήκους του τμήματος .

Προς το παρόν έχω μόνο απάντηση.

: Εγκλωβισμένο τμήμα.png (22.54 KiB) Προβλήθηκε 311 φορές

Το

παίρνει ακρότατες τιμές όταν είναι κάθετο στην OS.

Στην περίπτωση του μέγιστου (Σχ.1) το απόστημα είναι

και $\boxed{P{Q_{\max }} = 4\sqrt 2}$ ενώ στην περίπτωση του ελάχιστου (Σχ.2) το απόστημα είναι

και $\boxed{P{Q_{\min }} = 2\sqrt 5}$

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Ιούλ 21, 2021 6:14 pm Εγκλωβισμένο τμήμα.pngΣυνδέουμε σημείο , το οποίο κινείται στον κύκλο : , με το σημείο .

Θεωρούμε σημείο του κύκλου , τέτοιο ώστε : . Η επανατέμνει τον κύκλο

στο σημείο . Βρείτε τις ακρότατες τιμές του μήκους του τμήματος .

Κάλλιο αργά παρά ποτέ

Έστω

το μέσο του PQ.

Θέτω

Με Π.Θ στο PMO

είναι:

$\displaystyle \frac{{P{Q^2}}}{4} = 9 - O{M^2} \Leftrightarrow$ $\boxed{PQ^2=36-4OM^2}$ (1)

και με $\rm Stewart$ στο PTQ,

: Εγκλωβισμένο τμήμα.β.png (16.51 KiB) Προβλήθηκε 139 φορές

$\displaystyle P{Q^2} \cdot TS + {a^2}SQ = {a^2}TQ + TS \cdot SQ \cdot TQ \Leftrightarrow P{Q^2} \cdot TS = {a^2}TS + TS \cdot SQ \cdot TQ \Leftrightarrow$

$\displaystyle P{Q^2} = {a^2} + SQ(TS + SQ) = {a^2} + TS \cdot SQ + S{Q^2}$

Αλλά, $\displaystyle TS\cdot SQ = {3^2} - {1^2} = 8$ και από θ. διαμέσων στο PSQ

είναι, $\displaystyle {a^2} + S{Q^2} = 2{x^2} + \frac{{P{Q^2}}}{2}$

Άρα, $\displaystyle P{Q^2} = 8 + 2{x^2} + \frac{{P{Q^2}}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{PQ^2=4x^2+16}$ (2)

Από

παίρνω $OM=\sqrt{5-x^2}$ και με τριγωνική ανισότητα στο OSM,

είναι $OM-1\le x\le OM+1$ με

τις ισότητες να ισχύουν όταν τα O, S, M

είναι συνευθειακά. Αλλά, από $\displaystyle \sqrt {5 - {x^2}} - 1 \le x \le \sqrt {5 - {x^2}} + 1$

προκύπτει $\boxed{1\le x\le 2}$ οπότε από τη (2),

$\boxed{2\sqrt 5\le PQ\le 4\sqrt 2}$

Τα αντίστοιχα σχήματα φαίνονται στην παραπάνω δημοσίευση.

Εγκλωβισμένο τμήμα

Εγκλωβισμένο τμήμα

Re: Εγκλωβισμένο τμήμα

Re: Εγκλωβισμένο τμήμα

Μέλη σε σύνδεση