Εύρεση ακολουθίας

Λάμπρος Κατσάπας · #1

Την είδα στο group Μαθηματικοί Κύπρου στο fb αλλά εκεί ζητούσε μόνο τη σύγκλιση.

Η ακολουθία (a_n)

ικανοποιεί την αναδρομική σχέση $a_{n+1}=\dfrac{1}{1+a_n},a_1=1.$

Να βρεθεί ο a_n.

#2

Απέσυρα την λύση μου γιατί δεν είχα προσέξει ότι απευθύνεται μόνο σε φοιτητές.

Θα την προσθέσω σε λίγες μέρες, αν χρειαστεί και αν ... δεν το ξεχάσω.

llenny · #3

Έχω μία λύση με χαρακτηριστικές εξισώσεις και τα γνωστά που κάνουμε όταν έχουμε τέτοιου είδους σχέσεις, βέβαια είναι κάπως "άσχημη". Αν υπάρχει κάποιος άλλος τρόπος, αν είναι δυνατόν να μου στείλει κάποιος Π.Μ. μήπως βρω τίποτα άλλο αλλιώς θα την ανεβάσω αργότερα σήμερα ή αύριο.

Λάμπρος Κατσάπας · #4

Ανοικτή για όλους.

#5

Λάμπρος Κατσάπας έγραψε: Τρί Ιούλ 20, 2021 7:03 pm Την είδα στο group Μαθηματικοί Κύπρου στο fb αλλά εκεί ζητούσε μόνο τη σύγκλιση.

Η ακολουθία ικανοποιεί την αναδρομική σχέση $a_{n+1}=\dfrac{1}{1+a_n},a_1=1.$

Να βρεθεί ο

Για την Fibonacci, $\displaystyle{F_0=F_1=1,\, F_{n+1}=F_{n}+F_{n-1}$ , εύκολα βλέπουμε επαγωγικά ότι $a_n= \dfrac {F_{n-1}}{F_n}$ . Π.χ. το επαγωγικό βήμα είναι

$\displaystyle{a_{n+1}=\dfrac{1}{1+a_n} = \dfrac{1}{1+\dfrac {F_{n-1}}{F_n}} = \dfrac {F_{n}}{F_n+F_{n-1}}= \dfrac {F_{n}}{F_{n+1}}}$ .

Το όριο αυτού είναι γνωστό και απλό ότι είναι $\dfrac {1}{\phi }$ .

Σχόλιο: Είναι η λύση που είχα αναρτήσει παραπάνω, πριν της ώρας της. Τώρα νομίζω ότι νομιμοποιούμαι να την αναρτήσω εκ νέου.

kkala · #6

Οι μαθητές ίσως θα μπορούσαν να βοηθηθούν ανατρέχοντας στην παλιά σχολική "Θεωρητική Γεωμετρία" του Ν. Δ, Νικολάου (υπάρχει σε pdf και στον κατάλογο Parmenides52), υποσημείωση σελίδων 223-224. Μήπως το αναφερόμενο εκεί "συνεχές κλάσμα" αντιπροσωπεύει την αναδρομική σχέση της #1 (Λάμπρος Κατσάπας);

Λάμπρος Κατσάπας · #7

kkala έγραψε: Πέμ Ιούλ 22, 2021 11:20 am Οι μαθητές ίσως θα μπορούσαν να βοηθηθούν ανατρέχοντας στην παλιά σχολική "Θεωρητική Γεωμετρία" του Ν. Δ, Νικολάου (υπάρχει σε pdf και στον κατάλογο Parmenides52), υποσημείωση σελίδων 223-224. Μήπως το αναφερόμενο εκεί "συνεχές κλάσμα" αντιπροσωπεύει την αναδρομική σχέση της #1 (Λάμπρος Κατσάπας);

Θέλετε να βάλετε μια εικόνα της υποσημείωσης στην οποία αναφέρεστε; Έψαξα αλλά δεν το εντόπισα δυστυχώς. Η λύση μου σχεδόν ταυτίζεται με του κ.Λαμπρου μόνο που δεν έχω κάνει καμία αναφορά στην Fibonacci. Είναι φανερό ότι η ακολουθία μπορεί να γράφει σαν πηλίκο δύο πολυωνύμων του

Οδηγούμαστε σε ένα σύστημα το οποίο λύνουμε.

kkala · #8

Επισυνάπτονται φωτογραφίες (κυριολεκτικά) των δύο ζητουμένων σελίδων της σχολικής Γεωμετρίας Ν. Δ. Νικολάου. Πρέπει πρώτα να διαβασθεί η κάτω σελίδα.
Το πλήρες βιβλίο μπορεί να κατέβει σε αρχείο pdf από τη συλλογή του Parmenides52, "παλιά σχολικά βιβλία γεωμετρίας" <https://parmenides52.blogspot.com/p/school.html>, "Θεωρητική Γεωμετρία" του Νικολάου Δ. Νικολάου (ΟΕΔΒ, 1951-1974).
Στην εν λόγω σημείωση ο Νικολάου διατυπώνει την εξίσωση της χρυσής τομής και στην συνέχεια δίνει σαν λύση την αναδρομική ακολουθία της #1, χωρίς να αποδεικνύει ότι συγκλίνει (απευθύνεται σε μαθητές 15-17 χρόνων) Ακολουθεί δηλαδή μια πορεία αντίστροφη αυτής που προσπαθείται στην παρούσα άσκηση.
Κατά προσωπική μου ερμηνεία, σκοπός του είναι να καλύψει την περίπτωση όπου οι μαθητές δεν είχαν ακόμα διδαχθεί λύση δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Σημειώνεται ότι διδάχθηκα και χρυσή τομή και δευτεροβάθμιες εξισώσεις την ίδια σχολική χρονιά (Α' Πρακτικού Λυκείου, 1965). αν και οι δευτεροβάθμιες προηγήθηκαν.

#9

Υπάρχει στάνταρ τρόπος για να βρούμε τον νιοστό όρο μιας ομογραφικής αναδρομικής ακολουθίας του τύπου $\displaystyle{a_{n+1}=\frac{Aa_n+B}{Ca_n+D} }$

Στην περίπτωσή μας η χαρακτηριστική εξίσωση είναι $\displaystyle{x=\frac{1}{1+x}}$ και έχει δυο πραγματικές και άνισες ρίζες $\displaystyle{r_1>0,r_2<0}$

$\displaystyle{a_{n+1}-r_1=\frac{1}{1+a_n}-\frac{1}{1+r_1}=-\frac{a_n-r_1}{(1+r_1)(1+a_n)}}$ και όμοια
$\displaystyle{a_{n+1}-r_2}=α-\frac{a_n-r_2}{(1+r_2)(1+a_n)}}$

Τοτε η $\displaystyle{\frac{a_{n+1}-r_1}{a_{n+1}-r_2} }$ γεωμετρική πρόοδος οπότε μπορούμε να βρούμε τον $\displaystyle{a_n}$
αν εχουμε 2 μιγαδικές συζυγείς ρίζες συνεχίζουμε με τύπο De Moivre για τον σταθερό συντελεστή που θα προκύψει
αν $\displaystyle{r_1=r_2=R}$ η $\displaystyle{\frac{1}{a_n-R} }$ βγαίνει αριθμητική πρόοδος συνεπώς πάλι βρίσκουμε τον $\displaystyle{a_n}$

Εύρεση ακολουθίας

Εύρεση ακολουθίας

Re: Εύρεση ακολουθίας

Re: Εύρεση ακολουθίας

Re: Εύρεση ακολουθίας

Re: Εύρεση ακολουθίας

Re: Εύρεση ακολουθίας

Re: Εύρεση ακολουθίας

Re: Εύρεση ακολουθίας

Re: Εύρεση ακολουθίας

Μέλη σε σύνδεση