Επίπονος γεωμετρικός τόπος

KARKAR · #1

: Επίπονος γεωμετρικός τόπος.png (12.77 KiB) Προβλήθηκε 960 φορές

Μεταβλητός κύκλος , διερχόμενος από τα σταθερά σημεία

και

, τέμνει τις ευθείες : y=x

και :

$y=\dfrac{x}{5}$ , στα σημεία P,T

αντίστοιχα . Οι κάθετες από τα σημεία αυτά , προς τις "αντίπαλες" ευθείες ,

τέμνονται στο σημείο

. Βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του σημείου

.

#2

Όλοι οι κύκλοι που διέρχονται από τα σταθερά σημεία $O\,\,\kappa \alpha \iota \,\,S\left( {0,2} \right)$ ανήκουν στην οικογένεια:

$\left( {x - 0} \right)\left( {x - 0} \right) + \left( {y - 0} \right)\left( {y - 2} \right) + 2kx = 0$ , δηλαδή: $\boxed{{x^2} + {y^2} - 2y + 2kx = 0}\,\,\left( 1 \right)$

Το σύστημα : $\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} - 2y + 2kx = 0 \hfill \\ y = x \hfill \\ \end{gathered} \right. \to \boxed{P\left( {1 - k,1 - k} \right)}$

Το σύστημα : $\left\{ \begin{gathered} {x^2} + {y^2} - 2y + 2kx = 0 \hfill \\ x = 5y \hfill \\ \end{gathered} \right. \to \boxed{T\left( {\frac{{5\left( {1 - 5k} \right)}}{{13}},\frac{{1 - 5k}}{{13}}} \right)}$ .

: Επίπονος τόπος.png (25.1 KiB) Προβλήθηκε 943 φορές

Η εξίσωση $PH:\,\,y + k - 1 = - 5\left( {x + k - 1} \right)$ απ’ όπου , $\boxed{k = - \frac{{13x + 13y - 6}}{{30}}}$ $\left( 2 \right)$

Η εξίσωση : $TH:\,\,y - \dfrac{{1 - 5k}}{{13}} = - \left( {x - \dfrac{{5\left( {1 - 5k} \right)}}{{13}}} \right)$ απ’ όπου, $\boxed{k = - \frac{{5x + y - 6}}{2}}\,\,\left( 3 \right)$

Από τις $\left( 2 \right)\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\left( 3 \right)$ προκύπτει ότι το

διαγράφει την ευθεία με εξίσωση :

$\boxed{y = \frac{3}{2}x - 3}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

KARKAR έγραψε: Τρί Ιούλ 27, 2021 8:11 pm Επίπονος γεωμετρικός τόπος.pngΜεταβλητός κύκλος , διερχόμενος από τα σταθερά σημεία και , τέμνει τις ευθείες : και :

$y=\dfrac{x}{5}$ , στα σημεία αντίστοιχα . Οι κάθετες από τα σημεία αυτά , προς τις "αντίπαλες" ευθείες ,

τέμνονται στο σημείο . Βρείτε την καρτεσιανή εξίσωση του γεωμετρικού τόπου του σημείου .

Μια με προβολική,

καθώς κουνάμε το

στην

εφαρμόζοντας αντιστροφή πόλου

και τυχαία δύναμης ο κύκλος πάει σε ευθεία και $T_1=S_1T_1\cap l$ όπου l: y=x/5

και

γενικά η εικόνα του

στην αντιστροφή, άρα αφού η αντιστροφή διατηρεί τον διπλό λόγο το

κινείται προβολικά. Οι PP',TT'

παιρνούν από σταθερά σημεία(στο άπειρο) έτσι το

θα κινείται προβολικά αλλά επειδή όταν το

πάει στο άπειρο πάει και το

(δηλ η ευθεία στο άπειρο απεικονίζεται στον εαυτό της στην προβολικότητα) το

θα κινείται σε σταθερή ευθεία. Παίρνουμε 2 απλές περιπτώσεις για το

και την βρίσκουμε εύκολα( π.χ σίγουρα περνά από το (2,0)

και παίρνουμε και

με

"οριζόντια"...)

asoalex · #4

Αν

είναι το κέντρο του κύκλου

τότε η εξίσωση του

είναι:

Ισχύει: $\left\{\begin{array} {c 1}x_0^2+y_0^2=r^2\\x_0^2+(2-y_0)^2=r^2\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array} {c 1}x_0^2+y_0^2=r^2\\x_0^2+y_0^2-4y_0+4=r^2\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array} {c 1}x_0^2+y_0^2=r^2\\-4y_0+4=0\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array} {c 1}x_0^2+1=r^2\\y_0=1\end{array}\right.$

Επομένως:
$(x-x_0)^2+(y-1)^2=x_0^2+1 \Leftrightarrow x^2-2xx_0+x_0^2+y^2-2y+1=x_0^2+1 \Leftrightarrow x^2+y^2-2xx_0-2y=0$ (1)

Αν P(x_1,y_1)

ή

έχουμε:

$x_1^2+x_1^2-2x_1x_0-2x_1=0\Leftrightarrow 2x_1^2-2x_1x_0-2x_1=0\Leftrightarrow x_1-x_0-1=0\Leftrightarrow x_1=x_0+1$ (2)

Αν T(x_2,y_2)

ή $T(x_2,\frac{x_2}{5})$ τότε:

$x_2^2+\frac{x_2^2}{25}-2x_2x_0-\frac{2x_2}{5}=0\Leftrightarrow \frac{26x_2}{25}-2x_0-\frac{2}{5}=0\Leftrightarrow \frac{13x_2}{25}-x_0-\frac{1}{5}=0 \Leftrightarrow$
$\frac{13x_2}{25}=x_0+\frac{1}{5}\Leftrightarrow 13x_2=25x_0+5\Leftrightarrow x_2=\frac{25}{13}x_0+\frac{5}{13}$ (3)

Είναι $\vec{KP}=(x_1-x_0,y_1-y_0)=(x_0+1-x_0,x_1-1)=(1,x_0+1-1)=(1,x_0)$ (4)

Είναι $\vec{KO}=(0-x_0,0-y_0)=(-x_0,-1)$ (5)

Και $\vec{KT}=(x_2-x_0,y_2-y_0)=(\frac{25}{13}x_0+\frac{5}{13}-x_0,\frac{x_2}{5}-1)=(\frac{12}{13}x_0+\frac{5}{13},\frac{5}{13}x_0-\frac{12}{13})$ (6)

Επειδή το

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου OPT

ισχύει:
$\vec{KH}=\vec{KP}+\vec{KT}+\vec{KO}=(1-x_0+\frac{12}{13}x_0+\frac{5}{13},x_0-1+\frac{5}{13}x_0-\frac{12}{13})=(-\frac{1}{13}x_0+\frac{18}{13},\frac{18}{13}x_0-\frac{25}{13})$

Άρα: $\left\{\begin{array} {c 1}x_H-x_0=-\frac{1}{13}x_0+\frac{18}{13}x_0\\y_H-y_0=\frac{18}{13}x_0-\frac{25}{13}\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array} {c 1}x_H=\frac{12}{13}x_0+\frac{18}{13}x_0\\y_H=\frac{18}{13}x_0-\frac{12}{13}\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array} {c 1}13x_H=12x_0+18\\13y_H=18x_0-12\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array} {c 1}x_0=\frac{13}{12}x_H-\frac{18}{12}\\x_0=\frac{13}{18}y_H+\frac{12}{18}\end{array}\right.$ $\Leftrightarrow$

$\frac{13}{12}x_H-\frac{18}{12}=\frac{13}{18}y_H+\frac{12}{18}\Leftrightarrow 3*13x_H-3*18=13*2y_H+12*2\Leftrightarrow$
$3*13x_H-78=13*2y_H\Leftrightarrow 3x_H-6=2y_H\Leftrightarrow y_H=\frac{3}{2}x_H-3$

Δηλαδή ο γεωμετρικός τόπος των σημείων

είναι η ευθεία $y=\frac{3}{2}x-3$

Επίπονος γεωμετρικός τόπος

Επίπονος γεωμετρικός τόπος

Re: Επίπονος γεωμετρικός τόπος

Re: Επίπονος γεωμετρικός τόπος

Re: Επίπονος γεωμετρικός τόπος

Μέλη σε σύνδεση