Εμβαδόν χωρίου

Tolaso J Kos · #1

Να υπολογιστεί το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται της γραφικής της $x + \sin x$ , του άξονα y'y

και των ευθειών $y=\pi$ και $y=2\pi$ .

BAGGP93 · #2

Καλημέρα Τόλη. Αν έχω κάνει σωστά το σχήμα τότε η απάντηση είναι η εξής. (εσύ το έχεις σίγουρα, οπότε προσθέσέ το μετά)

Η $f(x)=x+\sin\,x\,,x\geq 0$ είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα στο $\left[0,+\infty\right)$

(αφού $f^{\prime}(x)=1+\cos\,x\geq 0$ με αριθμήσιμες ρίζες που δεν αλλάζει πρόσημο εκατέρωθεν αυτών)

και $f(x)\leq \pi\iff 0\leq x\leq \pi$ και $f(x)\leq 2\,\pi\iff 0\leq x\leq 2\,\pi$ . To ζητούμενο εμβαδόν είναι το εμβαδόν του ορθογωνίου με κορυφές

$(0,\pi)\,,(\pi,\pi)\,,(\pi,2\,\pi)\,,(0,2\,\pi)$

και τέλος μένει το εμβαδόν

μεταξύ $C_{f}$ , της $y=2\,\pi$ και των ευθειών $x=\pi\,,x=2\,\pi$ . Τελικά,

$\begin{aligned} E&=\pi^2+\int_{\pi}^{2\,\pi}(2\,\pi-f(x))\,\mathrm{d}x\\&=\pi^2+\left[2\,\pi\,x-\dfrac{x^2}{2}+\cos\,x\right]_{\pi}^{2\,\pi}\\&=...\end{aligned}$

edit: διόρθωση μετά την παράθεση του σχήματος

Tolaso J Kos · #3

Βαγγέλη σου ανεβάζω το σχήμα. Ευχαριστώ για τη λύση.

$\displaystyle{\begin{tikzpicture} \draw[->] (-0.5, 0) -- (7, 0) node[below]{x}; \draw[->] (0, -0.5) -- (0, 8) node[left]{y}; \draw[line width=1.6pt, domain=0:7,smooth,variable=\x] plot (\x, {\x+sin(\x r)}); \draw[dashed] (0, 3.14) -- (3.14 , 3.14) -- (3.14, 0); \draw[dashed] (0, 6.28) -- (6.28, 6.28) -- (6.28 , 0); \draw (3.14, 0) node[below]{\text{\gr π}}; \draw (6.28, 0) node[below]{2\text{\gr π}}; \draw (0, 3.14) node[left]{\text{\gr π}}; \draw (0, 6.28) node[left]{2\text{\gr π}}; \draw (0, 0) node[below left]{0}; \fill[lightgray, domain=3.14:6.28] (0, 3.14) -- (3.14, 3.14) -- plot(\x, {\x+sin(\x r)} ) -- (6.28, 6.28) -- (0, 6.28) -- cycle; \draw[fill=white] (2.5, 4.5) circle(10pt); \draw (2.5, 4.5) node[]{\text{\gr Ω}}; \end{tikzpicture}}$

Εμβαδόν χωρίου

Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Re: Εμβαδόν χωρίου

Μέλη σε σύνδεση