Στο Rolle

Tolaso J Kos · #1

Δίδεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $g:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ με g(0)=0

και

για κάθε $x \in (0, 1)$ . Να δειχθεί ότι υπάρχει $\xi \in (0,1)$ τέτοιο ώστε $\displaystyle 2 \cdot \frac{g'(\xi)}{g(\xi)} = \frac{g'(1-\xi)}{g(1-\xi)}$ .

#2

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Αύγ 22, 2021 6:54 pm Δίδεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $g:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ με και για κάθε $x \in (0, 1)$ . Να δειχθεί ότι υπάρχει $\xi \in (0,1)$ τέτοιο ώστε $\displaystyle 2 \cdot \frac{g'(\xi)}{g(\xi)} = \frac{g'(1-\xi)}{g(1-\xi)}$ .

Χάνω κάτι;

Αντιπαράδειγμα η g(x) = x(1-x)

η οποία ικανοποιεί τις υποθέσεις.

Δεδομένου ότι g(x)=g(1-x) = x-x^2

, η αποδεικτέα γράφεται $2 \cdot \dfrac{1-2\xi}{\xi-\xi ^2} = \dfrac{1-2\xi}{\xi-\xi ^2}$ . Δηλαδή 2=1

.

Ουπς, υπάρχει λάθος μου εδώ. Επειδή θα μπορούσε ο αριθμητής να είναι

, τελικά δεν απλοποιείται κατ' ανάγκη το κλάσμα για να γίνει 2=1

. Με 0 αριθμητή, το παραπάνω δίνει $2\cdot 0=1\cdot 0$ , που είναι μιά χαρά.

Tolaso J Kos · #3

Mihalis_Lambrou έγραψε: Κυρ Αύγ 22, 2021 8:11 pm
Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Αύγ 22, 2021 6:54 pm Δίδεται παραγωγίσιμη συνάρτηση $g:[0, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ με και για κάθε $x \in (0, 1)$ . Να δειχθεί ότι υπάρχει $\xi \in (0,1)$ τέτοιο ώστε $\displaystyle 2 \cdot \frac{g'(\xi)}{g(\xi)} = \frac{g'(1-\xi)}{g(1-\xi)}$ .
Χάνω κάτι;

Μιχάλη η άσκηση είναι έτσι και μάλιστα η λύση πηγαίνει κάπως έτσι. Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x) = g^2(x) g(1-x)

η οποία είναι συνεχής στο [0, 1]

και παραγωγίσιμη στο (0, 1)

με παράγωγο

$\displaystyle{h'(x) = 2 g(x) g(1-x) g'(x) - g^2(x) g'(1-x)}$
Η

ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle στο [0, 1]

συνεπώς υπάρχει $\xi \in (0, 1)$ τέτοιο ώστε $h'(\xi)=0$ , δηλ.

$\displaystyle{\begin{aligned} h'(\xi) =0 & \Leftrightarrow 2 g(\xi) g(1-\xi) g'(\xi) - g^2(\xi) g'(1-\xi) =0 \\ &\!\!\!\!\!\overset{g(\xi)>0}{\Leftarrow \! =\! =\! \Rightarrow } 2 g \left ( 1 - \xi \right ) g'(\xi) - g(\xi) g' (1-\xi) =0 \\ &\Leftrightarrow 2 g(1-\xi) g'(\xi) = g(\xi) g'(1-\xi) \\ &\Leftrightarrow 2 \cdot \frac{g'(\xi)}{g(\xi)} = \frac{g'(1-\xi)}{g(1-\xi)} \end{aligned}}$
Τώρα γιατί βγαίνει το αντιπαράδειγμα; Ίσως πρέπει να αλλάξουμε την εκφώνηση σε

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Αύγ 22, 2021 6:54 pm ....με και για κάθε $x \in (0, 1]$ . ...

#4

Tolaso J Kos έγραψε: Κυρ Αύγ 22, 2021 10:19 pm Τώρα γιατί βγαίνει το αντιπαράδειγμα; Ίσως πρέπει να αλλάξουμε την εκφώνηση σε

....με και για κάθε $x \in (0, 1]$ . ...

Δεν είναι εκεί το πρόβλημα.

Το αντιπαράδειγμα που έδωσα παραβλέπει μία πιθανή εκδοχή, οπότε είναι εσφαλμένο. Βλέπε το προηγούμενό μου ποστ.

Στο Rolle

Στο Rolle

Re: Στο Rolle

Re: Στο Rolle

Re: Στο Rolle

Μέλη σε σύνδεση