Βρείτε τη γωνία χ (45)

Ιστοσελίδα · #1

Στο μη κυρτό τετράπλευρο ΑΒΓΔ δίνεται ${\rm A}\widehat \Delta \Gamma = {20^ \circ },\,\Gamma \widehat {\rm A}\Delta = {40^ \circ },\,{\rm B}\widehat {\rm A}\Gamma = {80^ \circ }$ και ${\rm A}{\rm B} = \Gamma \Delta$ . Βρείτε τη γωνία ${\rm A}\widehat {\rm B}\Gamma = x$ .

: x45.jpg (41.7 KiB) Προβλήθηκε 3357 φορές

S.E.Louridas · #2

Ας μου επιτραπεί να δώσω μία υπόδειξη για καθαρά γεωμετρική λύση.

Αν στην ημιευθεία ΑΓ πάρουμε ΑΕ=ΑΔ και θεωρήσουμε το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΖ, με τα Ζ και Ε στο ίδιο ημιεπίπεδο ως προς την ΑΒ, έχουμε την ισότητα των τριγώνων ΓΔΑ και ΑΖΕ ,άρα και το ότι τα σημεία Β, Ζ, Ε είναι συνευθειακά.
Αν τώρα θεωρήσουμε στην ημιευθεία ΒΑ σημείο Μ ,ώστε το τρίγωνο ΒΜΕ να είναι ισόπλευρο και συγκρίνουμε τα τρίγωνα ΒΜΓ και ΒΓΕ θα δούμε ότι είναι ίσα (γιατι;)
Άρα η ζητούμενη γωνία είναι 30-μοίρες.

S.E.Louridas

#3

ας γράψουμε και μία τριγωνομετρική...

${\color{red}\bullet}\displaystyle{\triangle:AB\Gamma \rightarrow \frac{A\Gamma}{\sin(x)}=\frac{AB}{\sin(x+80^o)},(1)}$

${\color{red}\bullet}\displaystyle{\triangle:A\Gamma\Delta \rightarrow \frac{A\Gamma}{\sin(20^o)}=\frac{\Gamma\Delta}{\sin(40^o)},(2)}$

${\color{red}\bullet}\displaystyle{(1),(2)\rightarrow \frac{\sin(x+80^o)}{\sin(x)}=\frac{\sin(40^o)}{\sin (20^o)}=2\cdot \cos(20^o)=2\cdot \sin(70^o)=2\cdot \sin (110^o)=\frac{\sin(110^o)}{\sin (30^o)}=\frac{\sin(80^o+30^o)}{\sin (30^o)}=>x=30^o}$

Φανης Θεοφανιδης · #4

: 83.png (21.34 KiB) Προβλήθηκε 2876 φορές

Κατασκευάζω το ισόπλευρο τρίγωνο CDP

και ονομάζω

το σημείο τομής
της από το

παράλληλης προς την

με την διχοτόμο της $\angle BAC$ .
Επίσης φέρνω τα τμήματα NB, NC

.
Προφανώς A, C, P

συνευθειακά.
Οι κόκκινες γωνίες προκύπτουν εύκολα.
Το τραπέζιο ADPN

είναι εγγράψιμο, οπότε ισοσκελές $\Rightarrow AN=DP$ .
Αλλά το τρίγωνο PNA

είναι ισοσκελές.
Άρα NP=NA

.
Οι μπλε γωνίες προκύπτουν και αυτές εύκολα.
Το NBAC

είναι εγγράψιμο $\Rightarrow \angle ACB=\angle ANB\Rightarrow \angle ACB=70^{0}$ .
Από το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου BAC

, έπεται ότι $x=30^{0}$ .

Βρείτε τη γωνία χ (45)

Βρείτε τη γωνία χ (45)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (45)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (45)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (45)

Μέλη σε σύνδεση