Ισοδυναμία ή συνεπαγωγή;

Ardid · #1

Θα ήθελα να ρωτήσω ένας μαθητής λυκείου πότε οφείλει να χρησιμοποιοεί συνεπαγωγή και πότε ισοδυναμία. Για παράδειγμα όταν υψώνουμε στο τετράγωνο δεν ισχύει γενικά η ισοδυναμία. Αν όμως έχουμε ξεκαθαρίσει και γράψει από πριν ότι και τα δύο μέλη είναι θετικά, δεν ισχύει σε αυτή την περίπτωση η ισοδυναμία;
Για παράδειγμα η εξίσωση
$\sqrt{x} = x +2$
Πρέπει $x\geq 0$
Τότε $\sqrt{x} = x +2 \Leftrightarrow x=(x+2)^{2}$
H ισοδυναμία είναι λάθος;

Επιπλέον έστω ότι z=w

όπου z,w μιγαδικοί
Μπορούμε να γράψουμε $z=w \Leftrightarrow \left|z \right|= \left[w \right]$ ;
Σκέφτηκα ότι αν $\left|z \right|= \left[w \right]$ , τότε συμπεραίνουμε ότι z=w

αφού το δίνει η άσκηση ως δεδομένο και απορρίπτονται οι άλλες περιπτώσεις, π.χ. z=-w

Οποιαδήποτε γνώμη ευπρόσδεκτη

chris · #2

Για παράδειγμα η εξίσωση
$\sqrt{x} = x +2$
Πρέπει $x\geq 0$
Τότε $\sqrt{x} = x +2 \Leftrightarrow x=(x+2)^{2}$
H ισοδυναμία είναι λάθος;

Καταρχάς οταν βρίσκουμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης γενικότερα η λέξη πρέπει δεν είναι αρκετή. Το σωστό είναι πρέπει και αρκεί και έχει μεγάλη διαφορά παρότι στη διόρθωση γραπτών δεν βλέπω να δίνει κανένας σημασία(λογικό κατά τη γνώμη μου).Όσον αφορά για την επίλυση της εξίσωσης προτείνω δύο τρόπους.

1ος τρόπος

$\displaystyle \sqrt{x}=x+2{\color{red} \Rightarrow } x=(x+2)^2\Rightarrow x^2+3x+4=0\Rightarrow \left(x+\frac{3}{2} \right)^2+\frac{7}{4}=0$

άρα η εξίσωση είναι αδύνατη(το ίδιο και με διακρίνουσα στους πραγματικούς φυσικά)

Σε περίπτωση που υπήρχαν λύσεις με αυτόν τον τρόπο αναγκαστικά τις επαληθεύουμε.

2ος τρόπος

$\displaystyle \begin{cases} x+2\geq 0 \\ x\geq 0 \\ \sqrt{x}=x+2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x\geq -2 \\ x\geq 0 \\ x=(x+2)^2 \end{cases}\Leftrightarrow \begin{cases} x\geq 0 \\ \left(x+\frac{3}{2} \right)^2+\frac{7}{4} =0 \end{cases}$
άρα και πάλι καταλήγουμε στο οτι είναι αδύνατη η εξίσωση.
Εδω παίρνουμε ταυτόχρονα και "κουβαλάμε" όλους τους περιορισμούς που συναντάμε προκείμενου να χρησιμοποιήσουμε την ισοδυναμία.

Επιπλέον έστω ότι όπου μιγαδικοί
Μπορούμε να γράψουμε $z=w \Leftrightarrow \left|z \right|= \left|w \right|$

Όχι το αντίστροφο δεν ισχύει και δεν νομίζω να υπάρχει λόγος να μπερδευτούν μαθητές με αυτό. Και μάλιστα αυτός είναι απο τους ελάχιστους λόγους που κόβονται μονάδες λόγω χρήσης της ισοδυναμίας.Όταν "μετρώνουμε" χρησιμοποιούμε συνεπαγωγή.

Παραπέμπω ΕΔΩ στο συννημένο του κ.Κυριακόπουλου.

Περιμένω και διαφορετικές(πιθανώς διαφορετικές ) απόψεις.

Φιλικά

Ardid · #3

Διάβασα με αρκετή προσοχή το άρθρο και θέλω να κάνω κάποιες ερωτήσεις.
1. Έστω ότι έχουμε ένα απλό σύστημα με δύο αγνώστους το οποίο λύνω ως εξής:

2a + b =5 (1)

και
$3a - b = 10(2) (1) + (2) \Rightarrow 5a = 15 \Leftrightarrow a=3 (1)\Leftrightarrow b=-1$

Όταν προσθέσαμε κατά μέλη, δεν βάλαμε ισοδυναμία. Αυτό σημαίνει ότι οι λύσεις που βρήκαμε χρειάζονται απαραίτητα επαλήθευση;;; Εεε, είναι αυτονόητο ότι με τη επαλήθευση θα δούμε ότι επαληθεύουν το αρχικό σύστημα. Σε σχολικό επίπεδο, θα υπάρξει ποτέ καθηγητής που θα κόψει μονάδες επειδή ο μαθητής δεν έκανε επαλήθευση ή έστω δεν έγραψε ότι με επαλήθευση οι λύσεις είναι δεκτές;
2. Έχουμε τη σχέση f(x+y)= f(x) + f(y)

(3) για κάθε πραγματικό x,y.
Μας ζητάει να υπολογίζουμε το f(0)
Γράφω
Για $x=y=0, (3)\Rightarrow f(0)=0$
Χάθηκε η ισοδυναμία.Άρα πρέπει πάλι υποχρεωτικά να γίνει έλεγχος; Αν ναι, πώς;
3. Ζητείται σε σχολική εξέταση να βρεθεί ο γεωμετρικός τόπος των μιγαδικών w που ικανοποιούν μια σχέση.
Αν κάπου χαθεί η ισοδυναμία, θα χάσω μονάδες; Ή είμαι υποχρεωμένος να εφαρμόσω την πρόταση στη σελίδα 9 του άρθρου;
4. Ως μαθητής είμαι υποχρεωμένος όταν θέλω να αποδείξω μια σχέση και ξεκινώ από αυτή να μην χρησιμοποιώ ισοδυναμίες; Τόσο οι καθηγητές μου πάντως στο σχολείο και στα φροντιστήρια όσο και τα βοηθήματα που έχω χρησιμοποιούν ισοδυναμίες. Σύμφωνα όμως με τον κύριο Κυριακόπουλο, είναι λάθος.
5. Ποια η διαφορά στις παρακάτω ασκήσεις;
-Αν η f είναι συνεχής στο χ=2 να βρείτε τα α και β
-Να βρείτε τα α και β ώστε η f να είναι συνεχής στο χ=2.

Ίσως το ξεψυρίζω υπερβολικά το θέμα αλλά ποτέ κάποιος καθηγητής δε μου έχει δώσει επαρκής και ικανοποιητική εξήγηση πότε πρέπει να χρησιμοποιώ ισοδυναμία και πότε συνεπαγωγή και θέλω να ξεμπερδεύω με αυτό το θέμα μια για πάντα. Ή μήπως ως μαθητής τέτοια ζητήματα δεν πρέπει να με απασχολούν και υπάρχει ο κίνδυνος να χάσω το δάσος ψάχνοντας το δέντρο;
Ευχαριστώ.

pito · #4

Καλησπέρα

. Επαναφορά του θέματος, καθώς θα ήθελα να δω τη γνώμη των συναδέλφων στην απορία του ardid, κυρίως στο θέμα με τους αντίθετους συντελεστές στα συστήματα. Ευχαριστώ.

#5

Η μέθοδος των αντιθέτων συντελεστών είναι η μέθοδος Gauss για τα 2χ2 συστήματα .
Αποδεικνύεται ότι τα συστήματα είναι ισοδύναμα και δεν χρειάζεται επαλήθευση .
Η παρουσίαση του Ardid είναι πρόχειρη

Πιο αυστηρά γραμμένη

$\displaystyle \left. \begin{array}{l} 2a + b = 5\\ 3a - b = 10 \end{array} \right\}\mathop \Leftrightarrow \limits^{E2 \to E2 + E1} \,\,\,\left. \begin{array}{l} 2a + b = 5\\ 5a = 15 \end{array} \right\}\mathop \Leftrightarrow \limits^{E2 \to \frac{1}{5}E2} \,\,\,\left. \begin{array}{l} 2a + b = 5\\ a = 3 \end{array} \right\}\mathop \Leftrightarrow \limits^{E1 \to E1 - 2E2} \,\,\,\,\left. \begin{array}{l} b = - 1\\ a = 3 \end{array} \right\}$

Οι μαθητές αντί για συμβολα πρέπει να εξηγούν τι κάνουν κάθε φορά

Δείτε και εδώ

Antonis Loutraris · #6

Καλησπέρα και απο εμένα.

Συμφωνώ με τον Γιώργη στο σύστημα ότι θα πρέπει να χρησιμοποιούνται σε όλη
την πορεία επίλυσης του συστήματος ισοδυναμίες.Αν κάποιος χρησιμοποιήσει εξαρχής ισοδυναμίες και κάποια στιγμή διακόψει την λύση
και συνεχίσει με τις κλασσικές εκφράσεις του τύπου ''επομένως'' κοκ αυτόματα έχει χαθεί
η ισοδυναμία και πρέπει να γίνει επαλήθευση των λύσεων.
Διαφορετικά συνεπαγωγές παντού και επαλήθευση στο τέλος.

Επίσης, ας διατυπώνουμε πάντα τους ορισμούς των εννοιών ως ισοδυναμίες( δηλαδή με αν και μόνον αν) για να μην υπάρχουν
διάφορα προβλήματα που άπτονται της μαθηματικής λογικής και εν τέλει κάνουν λάθος τις διάφορες λύσεις.

pito · #7

Καλημέρα, σας ευχαριστώ για τις απαντήσεις σας!

Ισοδυναμία ή συνεπαγωγή;

Ισοδυναμία ή συνεπαγωγή;

Re: Ισοδυναμία ή συνεπαγωγή;

Re: Ισοδυναμία ή συνεπαγωγή;

Re: Ισοδυναμία ή συνεπαγωγή;

Re: Ισοδυναμία ή συνεπαγωγή;

Re: Ισοδυναμία ή συνεπαγωγή;

Re: Ισοδυναμία ή συνεπαγωγή;

Μέλη σε σύνδεση