βρήκα μια πάρα πολύ ωραία απόδειξη του πρώτου θεμελιώδους θεωρήματος του ολοκληρωτικού λογισμού,την οποία και σκέφτηκα να παραθέσω,για να τη δείτε κι εσείς...
Αν και φαίνεται λίγο ''κυκλικός'' ο τρόπος σκέψης (εκεί θα ήθελα τη γνώμη σας),δεν παύει να είναι μια απόδειξή που είναι απαλλαγμένη απο τον ε-δ ορισμό...
ΕΚΦΩΝΗΣΗ
Εστω f συνεχής σε διάστημα Δ και α σημείο του Δ.Τότε για τη συνάρτηση
,ισχύει : 
.Aπόδειξη
Θεωρούμε τη διαφορά :
, x,x+h σημεία του Δ.Απο το θεώρημα της μέσης τιμής του ολ.λογισμού προκύπτει πως υπάρχει τουλάχιστον ένας c στο [χ,χ+h],τέτοιος ώστε:
![\displaystyle{\displaystyle
\int\limits_x^{x + h} {f(t)dt} = \left[ {\left( {x + h} \right) - x} \right]f(c) = hf(c)
}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9197fe0ec42f4c19d86ea69dfbfc62b7.png "\displaystyle{\displaystyle
\int\limits_x^{x + h} {f(t)dt} = \left[ {\left( {x + h} \right) - x} \right]f(c) = hf(c)
}")
.Αρα F(x+h)-F(x)=hf(c) , c στο [x,x+h] (Η διαδικασία είναι παρόμοια,ακομή και αν h<0,μόνο που εκέι δουλεύουμε στο [χ+h,χ]).
Διαιρόντας με h>0,λαμβάνουμε :
.Το σημαντικό είναι πως το χ θεωρείται σταθερό και πως το c τελικά εξαρτάται (είναι συνάρτηση) του h.έστω c(h).
Τότε,όσο το h->0 το c(h)->x ( αφού x<=c(h)<=x+h ) .Οπότε ,λόγω της συνέχειας της f προκύπτει :
.Aρα έχουμε :
.Απο το τελευταίο καταλαβαίνουμε πως
,αρα το αποδείξαμε...Τι λέτε;
![\displaystyle \min\limits_{y \in [x,x+h]} f(y) \leqslant \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t) \, dt \leqslant \max\limits_{y \in [x,x+h]} f(y)](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/20ff8fc8d1a57cdba9313ad2f3668b81.png "\displaystyle \min\limits_{y \in [x,x+h]} f(y) \leqslant \frac{1}{h}\int_x^{x+h} f(t) \, dt \leqslant \max\limits_{y \in [x,x+h]} f(y)")
![\displaystyle \min\limits_{y \in [x,x+h]} f(y) , \max\limits_{y \in [x,x+h]} f(y)](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c4986ca5f95066d3c53d87ae0600f790.png "\displaystyle \min\limits_{y \in [x,x+h]} f(y) , \max\limits_{y \in [x,x+h]} f(y)")
όταν το 
τείνει στο 
συγκλίνουν στο 
(δηλαδή ότι είναι συνεχείς συναρτήσεις του