Ανισότητα

ILIOPOULOS PANAGIOTIS · #1

Να αποδειχθεί ότι $xe^xlnx> -\frac{e}{2}$ για κάθε x> 0

.

#2

Γεια σου Παναγιώτη, και καλή φοίτηση!

Θέτουμε f(x)=xe^xlnx

, οπότε

για

,

, επίσης $\lim_{x\rightarrow 0}f(x)=0$ . Αρκεί λοιπόν να δείξουμε ότι στο τυχόν σημείο $x_0\in (0,1)$ όπου f'(x_0)=0

ισχύει η $f(x_0)>-\dfrac{e}{2}$ . Από την f'(x)=e^x(lnx+xlnx+1)

προκύπτει η $lnx_0=-\dfrac{1}{1+x_0}$ , ισχύει επομένως η $f(x_0)=-\dfrac{x_0e^{x_0}}{1+x_0}$ . Θέτοντας $g(x)=-\dfrac{xe^x}{1+x}$ λαμβάνουμε $g'(x)=-\dfrac{e^x(x^2+x+1)}{(1+x)^2}<0$ , άρα $f(x_0)=-\dfrac{x_0e^{x_0}}{1+x_0}=g(x_0)>g(1)=-\dfrac{e}{2}$ .

[Στην πραγματικότητα ισχύει η xe^xlnx>-0,6

, όπως φαίνεται και στο συνημμένο που 'περιγράφει' την παραπάνω απόδειξη.]

: xexlnx.gif (5.11 KiB) Προβλήθηκε 946 φορές

Nikos002 · #3

Γνωριζουμε οτι : $ln{x}\leq x-1 \overset{x\rightarrow \frac{1}{x}{}}{\rightarrow} lnx\geq 1-\frac{1}{x} \Leftrightarrow x\cdot lnx \geq x-1 \Leftrightarrow e^{x}\cdot x\cdot lnx \geq xe^{x}-e^{x}\\=e^{x}(x-1)$

Για $x\geq 1$ προφανως ισχυει η ανισοτητα.

Θεωρουμε την συναρτηση : $t(x)=e^{x}(x-1),x\in[0,1]$
$t'(x)=e^{x}(x-1)+e^{x}=xe^{x}>0 ,\forall x \in(0,1)$

Αρα η t ειναι γνησιως αυξουσα και ισχυει: $t(x)\geq t(0)=-1$
Αρκει νδο $-1>-\frac{e}{2} \Leftrightarrow \frac{e}{2}>1\Leftrightarrow e>2$ ισχυει

#4

Nikos002 έγραψε: Τετ Σεπ 22, 2021 2:19 am Γνωριζουμε οτι : $ln{x}\leq x-1 \overset{x\rightarrow \frac{1}{x}{}}{\rightarrow} lnx\geq 1-\frac{1}{x} \Leftrightarrow x\cdot lnx \geq x-1 \Leftrightarrow e^{x}\cdot x\cdot lnx \geq xe^{x}-e^{x}\\=e^{x}(x-1)$

Για $x\geq 1$ προφανως ισχυει η ανισοτητα.

Θεωρουμε την συναρτηση : $t(x)=e^{x}(x-1),x\in[0,1]$
$t'(x)=e^{x}(x-1)+e^{x}=xe^{x}>0 ,\forall x \in(0,1)$

Αρα η t ειναι γνησιως αυξουσα και ισχυει: $t(x)\geq t(0)=-1$
Αρκει νδο $-1>-\frac{e}{2} \Leftrightarrow \frac{e}{2}>1\Leftrightarrow e>2$ ισχυει

Σημαντική βελτίωση της ανισότητας, αν μάλιστα χρησιμοποιήσουμε και την $e^x\geq x+1$ προκύπτει άμεσα η $xe^xlnx\geq x^2-1\geq -1$ .

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση