Τα αποτελέσματα της προόδου

KARKAR · #1

: Τα αποτελέσματα της προόδου.png (5.67 KiB) Προβλήθηκε 1114 φορές

Οι γωνίες : $\hat{C} , \hat{B} , \hat{A}$ είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου , με $\lambda=2$ . Δείξτε ότι : $\dfrac{b}{c}=1+\dfrac{b}{a}$

#2

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 15, 2021 6:54 pm Τα αποτελέσματα της προόδου.pngΟι γωνίες : $\hat{C} , \hat{B} , \hat{A}$ είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου . Δείξτε ότι : $\dfrac{b}{c}=1+\dfrac{b}{a}$

Κάτι δεν μου πάει καλά.

Οι γωνίες είναι της μορφής $C=B/p,\, B,\, A=Bp$ . Για $p\approx 1$ οι γωνίες είναι περίπου ίσες, δηλαδή περίπου 60^o

η καθεμία, που σημαίνει ότι το τρίγωνο είναι (οριακά) ισόπλευρο. Με άλλα λόγια a,b,c

κοντά το ένα στο άλλο. Αλλά τότε το αριστερό μέλος του αποδεικτέου είναι περίπου

ενώ το δεξί περίπου

. Χμμμ.

Δοκίμασα και άλλα τρίγωνα, και πάλι κάτι δεν πάει καλά. Π.χ. για p=3

οι γωνίες είναι περίπου 13,84

και

. Αλλά τότε το κομπιουτεράκι μου λέει ότι χαλάει ο Νόμος των Ημιτόνων που για την παρπάνω θα έδινε $\dfrac{\sin B}{\sin C}=1+\dfrac{\sin B}{\sin A}$

Κάνω λάθος;

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 15, 2021 6:54 pm Τα αποτελέσματα της προόδου.pngΟι γωνίες : $\hat{C} , \hat{B} , \hat{A}$ είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου , με $\lambda=2$ . Δείξτε ότι : $\dfrac{b}{c}=1+\dfrac{b}{a}$

Ωραία: Με την προσθήκη ότι ο λόγος της προόδου είναι

, δηλαδή οι γωνίες είναι $C,\, B= 2C,\, A= 2B=4C$ με 7C=180

, έχουμε ότι το αποδεικτέο είναι ισοδύναμα το $\dfrac{\sin B}{\sin C}=1+\dfrac{\sin B}{\sin A}$ . Γράφεται

$\dfrac{2 \sin C \cos C}{\sin C}=1+\dfrac{\sin B}{2\sin B \cos B}$ ή $\cos C=1+\dfrac{1}{2 \cos 2C}$ ή

$2 \cos C \cos 2C}= 2\cos 2C+1$ ή $2 \cos C (2 \cos ^2C-1}= 2(2\cos ^2C-1) +1$ ή

$8 \cos ^3 C -4\cos ^2-4\cos C +1=0,\,(*)$

Σπεύδουμε λοιπόν να αποδείξουμμε το τελευταίο: Έχουμε 4C =180-3C

, άρα $\cos 4C = -\cos 3C$ , οπότε $2\cos ^2 2C-1 = 4\cos ^3C -3\cos C$ , δηλαδή

$2(2\cos ^2 C-1)^2-1 = 4\cos ^3C -3\cos C$ , ισοδύναμα

$8\cos ^4C + 4\cos ^3 C -8\cos ^2 C -3\cos C+1=0$ , από όπου

$(\cos C+1)( 8 \cos ^3 C -4\cos ^2-4\cos C +1)=0$ .

Δεδομένου ότι ο πρώτος παράγοντας του προηγούμενου δεν μηδενίζεται, έπεται ότι μηδενίζεται ο δεύτερος. Αλλά αυτή είναι η (*)

. ό.έ.δ.

#4

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 15, 2021 6:54 pm Τα αποτελέσματα της προόδου.pngΟι γωνίες : $\hat{C} , \hat{B} , \hat{A}$ είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου , με $\lambda=2$ . Δείξτε ότι : $\dfrac{b}{c}=1+\dfrac{b}{a}$

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \widehat A = 2\widehat B \Leftrightarrow {a^2} = {b^2} + bc\\ \widehat B = 2\widehat C \Leftrightarrow {b^2} = {c^2} + ac \end{array} \right. \Rightarrow$ $\boxed{a^2-c^2=bc+ac}$ (1)

Αλλά, από εδώ είναι $\displaystyle \widehat A = 90^\circ + \frac{{\widehat C}}{2} \Leftrightarrow$ $\boxed{a^2-c^2=ab}$ (2)

Από

και

έχω $\displaystyle ab = bc + ac \Leftrightarrow$ $\boxed{\frac{b}{c} = 1 + \frac{b}{a}}$

Άλλη εκφώνηση: Αν οι γωνίες τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με

λόγο να δείξετε ότι το μεγαλύτερο ύψος είναι ίσο με το άθροισμα των άλλων δύο.

KARKAR · #5

george visvikis έγραψε: Σάβ Οκτ 16, 2021 10:01 am
Άλλη εκφώνηση: Αν οι γωνίες τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με

λόγο να δείξετε ότι το μεγαλύτερο ύψος είναι ίσο με το άθροισμα των άλλων δύο.

Άλλη εκφώνηση : Αν οι γωνίες τριγώνου είναι διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου με λόγο

δείξτε ότι η μικρότερη πλευρά ισούται με το μισό του αρμονικού μέσου των δύο μεγαλύτερων .

STOPJOHN · #6

$b^{2}=c^{2}+ac,(1) b^{2}+bc=a^{2},(2), (1)\Leftrightarrow \dfrac{b}{a}.\dfrac{b}{c}=\dfrac{c}{a}+1, (2)\Leftrightarrow \dfrac{b}{c}+1=\dfrac{a}{b}.\dfrac{a}{c},$

Θέτουμε $\dfrac{b}{c}=t,\dfrac{b}{a}=w$ και οι δυο προηγούμενες σχέσεις γράφονται

$w.t=1+\dfrac{w}{t},(3), t+1=\dfrac{1}{w}.\dfrac{t}{w},(4)$

και η αποδεικτέα γράφεται t=1+w,(*)

$(4)\Rightarrow t=\dfrac{w^{2}}{1-w^{2}},$

και αποδεικτέα διαμορφώνεται

$w^{3}+2w^{2}=1+w, (3)\Rightarrow \dfrac{w^{3}}{1-w^{2}}= 1+w.\dfrac{1-w^{2}}{w^{2}}\Leftrightarrow w^{3}+2w^{2}= 1+w$

και τέλος

Μιχάλης Τσουρακάκης · #7

KARKAR έγραψε: Παρ Οκτ 15, 2021 6:54 pm Τα αποτελέσματα της προόδου.pngΟι γωνίες : $\hat{C} , \hat{B} , \hat{A}$ είναι διαδοχικοί όροι αύξουσας γεωμετρικής προόδου , με $\lambda=2$ . Δείξτε ότι : $\dfrac{b}{c}=1+\dfrac{b}{a}$

Από τη δοδείσα σχέση μεταξύ των γωνιών του τριγώνου προκύπτει $\theta = \dfrac{ \pi }{7}$

Θεωρώντας λοιπόν κανονικό 7-γωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο, το τρίγωνο ABC

ικανοποιεί τα

δεδομένα του προβλήματος κι είναι γνωστό ότι $\dfrac{1}{c}= \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{a}$ που είναι ισοδύναμη με την ζητούμενη ισότητα

: τα αποτελέσματα της προόδου.png (32.36 KiB) Προβλήθηκε 975 φορές

Τα αποτελέσματα της προόδου

Τα αποτελέσματα της προόδου

Re: Τα αποτελέσματα της προόδου

Re: Τα αποτελέσματα της προόδου

Re: Τα αποτελέσματα της προόδου

Re: Τα αποτελέσματα της προόδου

Re: Τα αποτελέσματα της προόδου

Re: Τα αποτελέσματα της προόδου

Μέλη σε σύνδεση