Προβλέψιμη καθετότητα

KARKAR · #1

: Προβλέψιμη καθετότητα.png (10.15 KiB) Προβλήθηκε 759 φορές

$\bigstar$ Τα σημεία T , P

είναι συμμετρικά ως προς την διάμετρο

, κύκλου

. Το

είναι

τυχόν σημείο του "βόρειου" ημικυκλίου . Η

τέμνει την

στο σημείο

, ενώ η

τέμνει την

στο σημείο

. Δείξτε ότι $LN \perp AB$ .

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Οκτ 27, 2021 1:07 pm Προβλέψιμη καθετότητα.png $\bigstar$ Τα σημεία είναι συμμετρικά ως προς την διάμετρο , κύκλου . Το είναι

τυχόν σημείο του "βόρειου" ημικυκλίου . Η τέμνει την στο σημείο , ενώ η

τέμνει την στο σημείο . Δείξτε ότι $LN \perp AB$ .

Φέρνουμε τις $AS,\, BT$ και έστω τέμνονται στο

. To

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC

, άρα $CL \perp AB$ , που σημαίνει ότι οι ευθείες $CL, \, LN$ συμπίπτουν. Από τα ορθογώνια τρίγωνα $ABT,\, ABC$ και από το γεγονός ότι το SNBC

είναι εγγράψιμο, έχουμε $\angle BAT=\angle BCN=\angle BSN$ . Έπεται ότι οι χορδές $BP, \, PT$ των ίσων γωνιών $\angle BAT=\angle BSN$ είναι ίσες. Από αυτό έπεται αμέσως το ζητούμενο.

Ας προσθέσω ότι το παραπάνω ή κάποια παραλλαγή του (δεν θυμάμαι ακριβώς και άντε βρες το) βρίσκεται στο βιβλίο 7 της Συναγωγής του Πάππου, και παραπέμπει στα χαμένα σήμερα Πορίσματα του Ευκλείδη.

#3

: Προβλέψιμη καθετότητα.png (30.65 KiB) Προβλήθηκε 682 φορές

Για τις παρακάτω εγγεγραμμένες γωνίες του κύκλου $\left( O \right)$ έχω:

$\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_2}}$ γιατί βαίνουν σε ίσα τόξα και $\widehat {{a_1}} = \widehat {{a_3}}$ γιατί βαίνουν στο ίδιο τόξο.

Άρα $\boxed{\widehat {{a_2}} = \widehat {{a_3}}}$ οπότε το τετράπλευρο ASLN

είναι εγγράψιμο και αφού

Στα $S\,\,\kappa \alpha \iota \,\,N$ οι γωνίες είναι παραπληρωματικές θα έχω: $LN \bot AB$ .

Προβλέψιμη καθετότητα

Προβλέψιμη καθετότητα

Re: Προβλέψιμη καθετότητα

Re: Προβλέψιμη καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση