Μέσο τμήματος

#1

Έστω

ένα εγγράψιμο τετράπλευρο και έστω

και

σημεία στις πλευρές

και

, αντίστοιχα, τέτοια ώστε AP=CD

και

. Έστω

το σημείο τομής των

και

. Να δείξετε ότι το

είναι το μέσο του

.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#2

achilleas έγραψε: Κυρ Οκτ 31, 2021 10:59 am Έστω ένα εγγράψιμο τετράπλευρο και έστω και σημεία στις πλευρές και , αντίστοιχα, τέτοια ώστε και . Έστω το σημείο τομής των και . Να δείξετε ότι το είναι το μέσο του .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Καλημέρα Αχιλλέα!

Με τους συμβολισμούς του σχήματος και νόμο ημιτόνων στα AMQ, AMP

έχω:

: Μέσο τμήματος.Α.png (15.61 KiB) Προβλήθηκε 856 φορές

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{b}{{\sin (180^\circ - \theta )}} = \dfrac{{QM}}{{\sin \varphi }}\\ \\ \dfrac{a}{{\sin \theta }} = \dfrac{{MP}}{{\sin \omega }} \end{array} \right.\mathop \Rightarrow \limits^{( \div )} \frac{b}{a} = \frac{{\sin \omega }}{{\sin \varphi }} \cdot \frac{{QM}}{{MP}}$

Αλλά, από το τρίγωνο BCD

είναι $\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{{\sin \omega }}{{\sin \varphi }},$ οπότε $\boxed{QM=MP}$

#3

: Μέσο τμήματος.png (26.94 KiB) Προβλήθηκε 849 φορές

Προφανές αφού : SP//AC

και

μέσο του

#4

Το παραπάνω θέμα τέθηκε στην Αυστραλιανή Μαθηματική Ολυμπιάδα το 1996. Ευχαριστώ τον Γιώργο για την λύση του.

Το πρότεινα ως πρόβλημα 11 εδώ, αλλά δεν το έλυσε κανένας μαθητής που συμμετέχει στην προετοιμασία. Ίσως δεν το προσπάθησαν και ίσως χρειάζονταν κάποια ώρα να καταλάβουν το "προφανές" της παραπάνω λύσης.

Λύση: Στην προέκταση της

προς το

παίρνουμε σημείο

τέτοιο ώστε SA=AQ=BC

. Αφού

από την υπόθεση, και από το εγγράψιμο τετράπλευρο $S\widehat{A}P=B\widehat{C}D$ , τα τρίγωνα SAP

και

είναι ίσα από Π-Γ-Π.

Έτσι,

$\displaystyle P\widehat{S}D=P\widehat{S}A=C\widehat{B}D=C\widehat{A}D$

που σημαίνει ότι PS//CA

. Αφού το

είναι το μέσο της πλευράς

στο τρίγωνο PSQ

και

έπεται ότι το

είναι το μέσο του

.

Σχόλια. Η παραπάνω λύση είναι η πρώτη στο Australian Mathematical Olympiads, 1996-2011, AMT, 2011, σελ. 6. Παρόμοια λύση έχει δημοσιευθεί στο Crux Mathematicorum, Vol. 26 (2000), No. 8, σελ. 462.

Μια διαφορετική λύση στο παραπάνω βιβλίο προκύπτει από την εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων στα τρίγωνα PAM

,

και

, ενώ μια κομψή λύση που χρησιμοποιεί λόγους εμβαδών έχει δημοσιευθεί στο Mathematical Excalibur, Vol. 3, No. 4, Sept-Nov. 97, σελ. 3.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

achilleas έγραψε: Κυρ Οκτ 31, 2021 10:59 am Έστω ένα εγγράψιμο τετράπλευρο και έστω και σημεία στις πλευρές και , αντίστοιχα, τέτοια ώστε και . Έστω το σημείο τομής των και . Να δείξετε ότι το είναι το μέσο του .

Φιλικά,

Αχιλλέας

Έστω

και

.Λόγω ισότητας των μπλε γωνιών,το DHEC

είναι

εγγράψιμμο,συνεπώς οι πράσινες γωνίες είναι ίσες

Επειδή AP=DC

είναι (Γ-Π-Γ) $\triangle MAP= \triangle DCE \Rightarrow AM=DE$ και $\angle M_{1}= \angle E_{1}$

Όμως , $\angle A_{1} = \angle B_{1}$ και AQ=CB

οπότε $\triangle QAM= \triangle CEB$ (Γ-Π-Γ) συνεπώς AM=EB

‘Ετσι, $DE=EB\Rightarrow DH=HZ \Rightarrow QM=MP$ (Θ.Κ.Δέσμης)

: Μέσο τμήματος.png (29.63 KiB) Προβλήθηκε 803 φορές

#6

Αλλιώς. Επί της

θεωρώ σημείο

(*) ώστε

: Μέσο τμήματος.Αχ.png (16.02 KiB) Προβλήθηκε 775 φορές

Τότε τα τρίγωνα AMP, DNC

είναι ίσα, οπότε $\displaystyle C\widehat ND = \theta ,B\widehat NC = 180^\circ - \theta = A\widehat MQ.$

Άρα και τα AMQ, BNC

είναι ίσα, δηλαδή $\boxed{QM=CN=MP}$

(*) Το

είναι εσωτερικό σημείο του BD,

αφού

Γιώργος Μήτσιος · #7

Καλό βράδυ!
Μία ακόμη με χρήση εμβαδών. Θα δείξουμε $\left ( PAM \right )=\left ( PAQ \right )/2$ οπότε MP=MQ

: 31-10 Μέσο τμήματος.png (192.38 KiB) Προβλήθηκε 742 φορές

Έχουμε $2\left ( PAQ \right )=absinA=absinC=2\left ( BCD \right )$ .

Ακόμη $2\left ( PAQ \right )=AM\cdot bsinx+AM\cdot asiny$ , ενώ $2\left ( BCD \right )=\dfrac{BD}{2}\cdot asiny+\dfrac{BD}{2}\cdot bsinx$ .

Απ' αυτές παίρνουμε $bsinx\left ( AM-BD/2 \right )=asiny\left ( BD/2 -AM \right )$ οπότε κατ' ανάγκη AM=BD/2

(αφού ισότητα με ετερόσημα μέλη είναι άτοπο)

και συνεπώς $\left ( PAM \right )=\dfrac{AM}{2}asiny=\dfrac{BD}{4}asiny=\left ( BCD \right )/2=\left ( PAQ \right )/2...$ Φιλικά, Γιώργος.

Μέσο τμήματος

Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Re: Μέσο τμήματος

Μέλη σε σύνδεση