ορθογώνιοι κύκλοι 2

#1

Από το σημείο

του ριζικού άξονα δύο τεμνόμενων κύκλων (K) , (K')

φέρνουμε τις εξωτερικές (ή εσωτερικές) εφαπτόμενές τους MA, MA'.

Να αποδειχτεί ότι τα η ευθεία A A'

διέρχεται από σταθερό σημείο.

(Επί πλέον, αν B, B'

είναι τα "εξωτερικά" σημεία τομής των δύο κύκλων, "κατ' αντιστοιχίαν", με την διάκεντρο, τότε o ριζικός άξονας, οι ευθείες AA', BB'

και ο κύκλος (M, MA)

έχουν κοινό σημείο.)

#2

rek2 έγραψε: Τετ Νοέμ 03, 2021 5:29 pm Από το σημείο του ριζικού άξονα δύο τεμνόμενων κύκλων φέρνουμε τις εξωτερικές (ή εσωτερικές) εφαπτόμενές τους Να αποδειχτεί ότι τα η ευθεία διέρχεται από σταθερό σημείο.

(Επί πλέον, αν είναι τα "εξωτερικά" σημεία τομής των δύο κύκλων, "κατ' αντιστοιχίαν", με την διάκεντρο, τότε o ριζικός άξονας, οι ευθείες και ο κύκλος έχουν κοινό σημείο.)

Το πρόβλημα αντιμετωπίζεται όπως εδώ και το σταθερό σημείο είναι το

της διακέντρου για το οποίο $\dfrac{SK}{S{K}'}=\dfrac{R}{{{R}'}}$

Το επι πλέον τα το κοιτάξω αργότερα

: Το επι πλέον.png (22.17 KiB) Προβλήθηκε 2300 φορές

Από $KA\parallel {K}'{C}',KB\parallel {K}'{{{B}'}_{1}}$ προκύπτει η ομοιότητα των ισοσκελών τριγώνων $\vartriangle ABB,\vartriangle {C}'{K}'{{B}_{1}}\Rightarrow \angle AB{B}'\equiv \angle ABK=\angle {C}'{{{B}'}_{1}}K\equiv$
$\angle C{{{B}'}_{1}}{B}'\overset{{B}',{{B}_{1}},{A}',{C}'\,o\mu o\kappa \upsilon \kappa \lambda \iota \kappa \alpha }{\mathop{=}}\,\angle {C}'{A}'{B}'\equiv \angle A{A}'{B}'$ και συνεπώς τα A,{B}',B,{A}'

είναι ομοκυκλικά και άρα το $S\equiv AB\cap {A}'{B}'\cap T{T}'$ είναι το ριζικό κέντρο των κύκλων $\left( K \right),\left( {{K}'} \right),\left( O \right)$
Αν $L\equiv T{T}'\cap K{K}'\Rightarrow \angle SL{B}'={{90}^{0}}$

$\overset{\angle {{B}_{1}}AS\equiv {{B}_{1}}AB={{90}^{0}}\left( B{{B}_{1}}\,\,\delta \iota \alpha \mu \varepsilon \tau \rho o\varsigma \right)}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle MSA\overset{\varepsilon \xi \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta -\alpha \pi \varepsilon \nu \alpha \nu \tau \iota \,\,\varepsilon \sigma \omega \tau \varepsilon \rho \iota \kappa \eta }{\mathop{=}}\,$
$\angle L{{B}_{1}}A\equiv \angle B{{B}_{1}}A\overset{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta -\upsilon \pi o\,\,\chi o\rho \delta \eta \varsigma \,\,\kappa \alpha \iota \,\,\varepsilon \varphi \alpha \pi \tau o\mu \varepsilon \nu \eta }{\mathop{=}}\,$
$\angle BAM\equiv \angle SAM\Rightarrow MA=MS=M{A}'$

Φυσικά ισχύει και αυτό

ορθογώνιοι κύκλοι 2

ορθογώνιοι κύκλοι 2

Re: ορθογώνιοι κύκλοι 2

Μέλη σε σύνδεση