Ανίσωση

Al.Koutsouridis · #1

Να λύσετε την ανίσωση

$2x +\dfrac{4}{x} \left ( 2x-7\right )^3 \leq \sqrt{x} +7$ .

Λάμπρος Μπαλός · #2

Γεια σας, καλημέρα.
Η προσπάθειά μου για την όμορφη ανίσωση.

Δουλεύουμε φυσικά για x>0

. Ισοδύναμα,

$2x^{2}+4(2x-7)^{3} \leq x \sqrt{x}+7x \Leftrightarrow$

$x(2x-7)+4(2x-7)^{3} \leq x \sqrt{x} \Leftrightarrow$

$(2x-7)[x+4(2x-7)^{2}] \leq x \sqrt{x} \Leftrightarrow$

$\frac{2x-7}{\sqrt{x}}[4(\frac{2x-7}{\sqrt{x}})^{2}+1] \leq 1$ .

Αν ονομάζουμε το $\frac{2x-7}{\sqrt{x}}=y$ , οδηγούμαστε στην

$y(4y^{2}+1) \leq 1 \Leftrightarrow 4y^{3}+y-1 \leq 0$ , για $y \in R$ .

Με τη βοήθεια, ας πούμε, του σχήματος Horner

$(y-\frac{1}{2})(4y^{2}+2y+2) \leq 0 \Leftrightarrow y \leq \frac{1}{2}$ ,

αφού το $4y^{2}+2y+2>0$ , για κάθε $y \in R$ , λόγω αρνητικής Διακρίνουσας.

Επομένως,

$\frac{2x-7}{\sqrt{x}} \leq \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4x- \sqrt{x}-14 \leq 0 \Leftrightarrow (4\sqrt{x}+7)(\sqrt{x}-2) \leq 0 \Leftrightarrow$

$\sqrt{x} \leq 2 \Leftrightarrow 0<x \leq 4$ .

Ανίσωση

Ανίσωση

Re: Ανίσωση

Μέλη σε σύνδεση