Κέντρο ψευτοκύκλου

KARKAR · #1

: Κέντρο ψευτοκύκλου.png (10.73 KiB) Προβλήθηκε 638 φορές

Σε οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο ABC

, θεωρούμε σημεία D , E

των πλευρών AC , AB

αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε: BD=BA

και

.

α) Υπολογίστε τις συντεταγμένες του κέντρου

, του κύκλου ο οποίος διέρχεται από τα σημεία A , E , D

.

β) Αν

είναι η τομή των BD , CE

, υπάρχει περίπτωση το τετράπλευρο AESD

να είναι εγγράψιμο ;

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 14, 2021 7:02 pm Κέντρο ψευτοκύκλου.pngΣε οξυγώνιο και σκαληνό τρίγωνο , θεωρούμε σημεία των πλευρών αντίστοιχα ,

τέτοια ώστε: και .

α) Υπολογίστε τις συντεταγμένες του κέντρου , του κύκλου ο οποίος διέρχεται από τα σημεία .

β) Αν είναι η τομή των , υπάρχει περίπτωση το τετράπλευρο να είναι εγγράψιμο ;

i) Έστω $K\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)$ . Τότε από τα ισοσκελή τρίγωνα (από την εκφώνηση) θα είναι:
$\left( \overrightarrow{BK}\bot \overrightarrow{AC}\,\,\wedge \overrightarrow{CK}\bot \overrightarrow{AB} \right)\Leftrightarrow \left( \overrightarrow{BK}\cdot \overrightarrow{CA}=0\,\,\wedge \overrightarrow{CK}\cdot \overrightarrow{BA}=0 \right)\overset{\overrightarrow{BK}=\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right),\overrightarrow{CA}=\left( a-c,b \right),\overrightarrow{CK}=\left( {{x}_{0}}-c,{{y}_{0}} \right),\overrightarrow{BA}=\left( a,b \right)}{\mathop{\Leftrightarrow }}\,$
$\left( \left( a-c \right){{x}_{0}}+b{{y}_{0}}=0\,\,\wedge \left( {{x}_{0}}-c \right)a+b{{y}_{0}}=0 \right)\Leftrightarrow \ldots {{x}_{0}}=a,{{y}_{0}}=\dfrac{a\left( c-a \right)}{b}$
ii) Αν το τετράπλευρο AESD

είναι εγγράψιμο σε κύκλο θα έπρεπε $\angle CSD=\angle A\overset{\angle A=\angle AEC}{\mathop{\Rightarrow }}\,\angle CSD=\angle AEC\Rightarrow SD\parallel AE$ πράγμα άτοπο για το οξυγώνιο τρίγωνο $\vartriangle ABC$
Το γεγονός (της εγγραψιμότητας του εν λόγω τετραπλεύρου) θα συνέβαινε για ορθογώνιο στο

τρίγωνο και τον εκφυλισμό του κύκλου και του εν λόγω τετραπλεύρου στο σημείο

#3

Άλλη εκφώνηση του α): Στο οξυγώνιο τρίγωνο ABC

(σχήμα KARKAR) να βρείτε τις συντεταγμένες του ορθοκέντρου.

Με τις λιγότερες δυνατές πράξεις (λόγω βλάβης του υπολογιστή) και κατ' εξαίρεση, για τον ίδιο λόγο, χωρίς σχήμα.

Έστω K(x,y)

και

το ύψος με $K\widehat BZ=\theta.$ Επειδή

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου, θα είναι $\boxed{x=a}$

Με ν. συνημιτόνου στο αρχικό τρίγωνο είναι $\displaystyle \cos C = \frac{{c - a}}{{\sqrt {{b^2} + {{(c - a)}^2}} }} = \sin \theta = \frac{y}{{\sqrt {{y^2} + {a^2}} }} \Rightarrow$ $\boxed{y = \frac{{a(c - a)}}{b}}$

Κέντρο ψευτοκύκλου

Κέντρο ψευτοκύκλου

Re: Κέντρο ψευτοκύκλου

Re: Κέντρο ψευτοκύκλου

Μέλη σε σύνδεση