Μια δύσκολη (;) καθετότητα

#1

: Μία δύσκολη (;) καθετότητα 1.png (50.77 KiB) Προβλήθηκε 1186 φορές

Έστω τυχόντα σημεία των πλευρών τριγώνου $\vartriangle ABC$ και ας είναι το δεύτερο (εκτός του ) σημείο τομής του περίκυκλου του τριγώνου $\vartriangle ADE$ με τον περίκυκλο $\left( O \right)$ του $\vartriangle ABC$ . Αν $F\equiv BE\cap CD$ και $T\equiv KF\cap \left( O \right),T\ne K$ να δειχτεί ότι $OL\bot DE$ όπου $L\equiv AT\cap BC$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

Μια πρώτη αντιμετώπιση με προβολική,

Σταθεροποιώ το σημείο

στην

και κουνάω το

στον κύκλο (ABC)

έτσι ώστε

.
Τότε αντιστρέφοντας με πόλο

και τυχαία δύναμη το $K\rightarrow K^*$ με το K^*

να κινείται σε σταθερή ευθεία (τον (ABC)^*

), και το

ορίζεται ως $D^*K^*\cap AC$ οπότε αφού η αντιστροφή διατηρεί τον διπλό λόγο και το D^*

σταθερό , έχω πως $K\rigtharrow E$ είναι προβολική απεικόνιση από κωνική σε ευθεία από το οποίο έπεται πως το

κινείται προβολικά με deg E=1

Επίσης ορίζω

την ευθεία που περνά από το

και είναι κάθετη στην

. Τότε $E\rightarrow DE\rightarrow l$ προβολικότητα , θέτω $L=l\cap BC$ και $AL\cap \odot(ABC)=L\neq A$ .
Η $E\rightarrow L$ είναι προβολική απεικόνιση από ευθεία σε ευθεία, έτσι deg L=1

, ενώ η $L\rightarrow AL\rightarrow AT$ από ευθεία σε κωνική άρα deg T=2

.
Πρέπει και αρκεί τώρα να δείξω ότι K,F,T

συνευθειακά. Αρκεί αυτό να ισχύει για τουλάχιστον deg K+ deg F+deg T+1=6

περιπτώσεις για το

.

: 43.PNG (39.87 KiB) Προβλήθηκε 1121 φορές

, τότε $DE\parallel BC$ και είναι απλό πως $F\in AL$ με διάμεσος στο .

, τότε $E=AC_{\infty}$ και έτσι το η τομή της μεσοκαθέτου της με και $BT\parallel AC$ κλπ

, τότε είναι απλό πως και $F\equiv C$ οπότε ok

$K=J=CD\cap \odot(ABC),J\neq C$ , τότε στο τρίγωνο η αντιπαράλληλη οπότε τελικά $T\equiv L \equiv C$ κλπ

τέτοιο ώστε ( για την εύρεση πάμε ανάποδα, δηλ παίρνουμε την τομή της κάθετης από το στην με την μεσοκάθετη της και κέντρο αυτή παίρνουμε κύκλο που περνά από κλπ). Τότε $D\equiv F$ και η τομή της μεσοκάθετης της με την , οπότε εύκολα ισοσκελές τραπέζιο και $\angle AKF=\angle BAC$ (χορδή εφαπτομένη) και $\angle BAC=\angle TBC=\angle AKT$ κλπ

: 44.PNG (36.64 KiB) Προβλήθηκε 1121 φορές

ώστε το αντιδιαμετρικό του (πάλι η κατασκευή του πάει ανάποδα). Τώρα αντιπαράλληλη και
εγγράψιμο, οπότε είναι σημείο Miquel του και τα υπόλοιπα γνωστή θεωρία (απλό κυνήγι γωνιών)

: 45.PNG (31.06 KiB) Προβλήθηκε 1121 φορές

min## · #3

Ας δούμε άλλη μια στα γρήγορα.(δεν ξέρω αν χρειάζεται μετά από τα παραπάνω αλλά

).
Ας είναι $X\equiv KD\cap (ABC),Y\equiv KE\cap (ABC)$ και $A'\equiv BX\cap CY, B'\equiv CY\cap DE, C'\equiv BX\cap DE$ .
Εδώ έχουμε τέσσερις παρατηρήσεις:

συνευθειακά. Αυτό αποδεικνύεται (άμεσα) με Dual of Desargues Involution Theorem στο ADFE.BC

μιας και τα (B,C),(X,Y),(A,T)

βγαίνουν συζυγή σε ενέλιξη (στον κύκλο) και άρα οι BC,XY,AT

συντρέχουσες.

εγγράψιμα. Για το πρώτο πχ. αρκεί να παρατηρήσουμε ότι $BLX\angle=LXC\angle+LCX\angle=2BKD\angle=BOX\angle$ και λοιπά.

συνευθειακά. Αυτό έπεται από το 2) συν ριζικούς άξονες.

ισοσκελές. Πράγματι, είναι $BXK\angle=BCK\angle=DEK\angle$ (spiral similarity) οπότε C'XEK

εγγράψιμο και $XC'E\angle=XKE\angle$ .
Ομοίως $YB'D\angle=YKD\angle$ .

Παρατηρούμε τέλος ότι το BXCY

είναι ισοσκελές τραπέζιο οπότε BY// CX//B'C'

και η

είναι κάθετη στις 3 αυτές ευθείες από συμμετρία

Μια δύσκολη (;) καθετότητα

Μια δύσκολη (;) καθετότητα

Re: Μια δύσκολη (;) καθετότητα

Re: Μια δύσκολη (;) καθετότητα

Μέλη σε σύνδεση