Ομαλή ελαχιστοποίηση

KARKAR · #1

: Ομαλή ελαχιστοποίηση.png (13.37 KiB) Προβλήθηκε 1130 φορές

Στο τετράγωνο του σχήματος , μία ευθεία διερχόμενη από το S(2,4)

, τέμνει τις πλευρές

OB , BQ

στα

. Υποδείξτε στην πολεοδομία πως να φέρει αυτή την ευθεία , ώστε

το οικόπεδο που θα παραμείνει λευκό , να είναι όσο το δυνατόν μεγαλύτερο σε εμβαδόν .

#2

KARKAR έγραψε: Κυρ Νοέμ 21, 2021 1:30 pm Ομαλή ελαχιστοποίηση.png Στο τετράγωνο του σχήματος , μία ευθεία διερχόμενη από το , τέμνει τις πλευρές

στα . Υποδείξτε στην πολεοδομία πως να φέρει αυτή την ευθεία , ώστε

το οικόπεδο που θα παραμείνει λευκό , να είναι όσο το δυνατόν μεγαλύτερο σε εμβαδόν .

Ισοδύναμα θέλουμε το ελάχιστο γαλάζιο τρίγωνο. Έστω λοιπόν $BP=p>7-4=3 ,\, BT=t>2$ (τα τελευταία βγαίνουν από το σχήμα, π.χ. το

είναι χαμηλότερα από το

και λοιπά). Άρα τα P,T

είναι τα $P(0,7-p),\, T(7,t)$ που από την συνθήκη συνευθειακότητας των $P,\,T,\, S$ έχουμε (κοιτάμε τις κλίσεις) $\dfrac {t-4}{7-2}=\dfrac {4-(7-p)}{0-2}$ , δηλαδή $t=\dfrac {2p}{p-3}$ .

To το γαλάζιο εμβαδόν είναι $\displaystyle{\dfrac {1}{2}pt = \dfrac {p^2}{p-3}}$ το οποίο είναι $\ge 12$ με ισότητα όταν p=6

(η ανισότητα ισοδυναμεί με τη $(p-6)^2 \ge 0$ ).

Άρα το μέγιστο ζητούμενο εμβαδόν είναι 49-12=37

.

#3

Kαλησπέρα σε όλους.

: 21-11-2021 Γεωμετρία.png (25.36 KiB) Προβλήθηκε 1101 φορές

Στρίβουμε το σχήμα ώστε B(0,0), O(7,0), A(7,7), Q(0,7)

, οπότε

.

Προφανώς η ευθεία δεν είναι κατακόρυφη ή οριζόντια.

Έστω πλάγια ευθεία $\displaystyle y - 2 = \lambda \left( {x - 3} \right)$ , που διέρχεται από το

και τέμνει τους άξονες x’x, y’y

στα $\displaystyle P\left( {\frac{{3\lambda - 2}}{\lambda },0} \right),\;T\left( {0, - 3\lambda + 2} \right)$ αντίστοιχα.

Τότε, για να είναι εσωτερικά των πλευρών του τριγώνου τα P, T

πρέπει και αρκεί $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l} 0 < \frac{{3\lambda - 2}}{\lambda } < 7\\ 0 < - 3\lambda + 2 < 7 \end{array} \right.\;\; \Leftrightarrow - \frac{5}{3} < \lambda < - \frac{1}{2}$

Τότε $\displaystyle \left( {STB} \right) = \frac{{BP \cdot TB}}{2} = \frac{{3\lambda - 2}}{{2\lambda }} \cdot \left( { - 3\lambda + 2} \right) = - \frac{{{{\left( {3\lambda - 2} \right)}^2}}}{{2\lambda }}$

$\displaystyle = \frac{1}{2}\left( {9\left( { - \lambda } \right) + \frac{4}{{ - \lambda }} + 12} \right)$ .

Επειδή το γινόμενο των θετικών όρων $\displaystyle 9\left( { - \lambda } \right),\;\;\frac{4}{{ - \lambda }}$ είναι σταθερό, το άθροισμά τους έχει ελάχιστο όταν γίνουν ίσοι (αν γίνεται, λόγω των περιορισμών).

Είναι $\displaystyle 9\left( { - \lambda } \right) = \frac{4}{{ - \lambda }} \Leftrightarrow \lambda = - \frac{2}{3}$ , οπότε $\displaystyle P\left( {6,0} \right),\;T\left( {0,\;4} \right)$ , οπότε (STB)=12

.

Οι πολεοδόμοι θα ξαναστρίψουν το σχήμα και θα σημειώσουν στο οικόπεδο με κάτω δεξιά γωνία το

, το δρόμο να περνά από τα $\displaystyle P\left( {1,0} \right),\;T\left( {4,7} \right)$ . Το λευκό οικόπεδο θα έχει μέγιστο εμβαδόν ίσο με 49-12=37

.

#4

Καλησπέρα!

Με τους συμβολισμούς του σχήματος κι επειδή DS||BT

θα είναι $\displaystyle \frac{2}{x} = \frac{{4 - y}}{{7 - y}} \Leftrightarrow$ $\boxed{y = \frac{{4x - 14}}{{x - 2}}}$ (1)

: Ομαλή ελαχιστοποίηση.png (11.54 KiB) Προβλήθηκε 1061 φορές

$\displaystyle (BPT) = \frac{1}{2}x(7 - y)\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1)} (BPT) = \frac{{3{x^2}}}{{2x - 4}} = t \Leftrightarrow 3{x^2} - 2tx + 4t = 0$

Για να έχει λύση αυτή η δευτεροβάθμια εξίσωση θα πρέπει $\displaystyle \Delta \ge 0 \Leftrightarrow 4t(t - 12) \ge 0\mathop \Leftrightarrow \limits^{t > 0} t \ge 12$

Άρα, $\displaystyle {(BPT)_{\min }} = 12,$ οπότε $\boxed{{(OAQTP)_{\max }} = 49 - 12 = 37}$ όταν $\boxed{x=4}$

#5

Ανάλυση
Έστω λυμένο το πρόβλημα. Ας είναι $K\,\,\kappa \alpha \iota \,\,M$ οι προβολές του

στις $OA\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BQ$ ,

ενώ

η προβολή του στην

. Θέτω $MT = x > 0\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PL = y > 0$

Αρκεί να γίνει ελάχιστο το $E = \left( {BPT} \right)$ . Αλλά $2E = \left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right) = xy + 3x + 2y + 6\,\,\left( 1 \right)$

Επειδή $\boxed{\vartriangle LPS \approx \vartriangle MST \Rightarrow \frac{{LP}}{{MS}} = \frac{{LS}}{{MT}} \Rightarrow \frac{y}{3} = \frac{2}{x}}\,\,\left( 2 \right)$

: πολεοδομία_ Ευκλείδεια.png (12.3 KiB) Προβλήθηκε 1036 φορές

όθεν η $\left( 1 \right)$ γίνεται : $2E = 6 + 3x + \dfrac{{12}}{x} + 6 = 12 + 3\left( {x + \dfrac{4}{x}} \right)$ $\left( 3 \right)$ .

Επειδή $x \cdot \dfrac{4}{x} = 4$ σταθερό , το άθροισμα $x + \dfrac{4}{x}$ γίνεται ελάχιστο όταν $\boxed{x = \dfrac{4}{x} \Rightarrow x = 2}$ .

Τότε : $2E = 24 \Rightarrow E = 12$ και άρα το υπόλοιπο του τετραγώνου θα είναι $\boxed{49 - 12 = 37}$

Για την κατασκευή . SP=ST

, γνωστή και απλή άσκηση .

Παρόμοια είναι η αντιμετώπιση κι όταν η γωνία δεν είναι ορθή ( είναι όμως σταθερή) γνωστή άσκηση που έχει τεθεί στο ακαδημαϊκό απολυτήριο το 1966. χθες ή προχθές μας απασχόλησε πάλι.

nickchalkida · #6

Παρατήρηση (όχι απόδειξη) :
Αν κατασκευάσουμε την υπερβολή με ασυμπτώτους τους άξονες συντεταγμένων που διέρχεται από το

, (γνωστή κατασκευή)
τότε το ελάχιστο τρίγωνο (BPT)

προσδιορίζεται από τους άξονες και την εφαπτομένη της υπερβολής στο

.
(Νομίζω η προηγούμενη λύση του Νίκου προσεγγίζει αυτή την αντιμετώπιση)

KARKAR · #7

: Ομαλή ελαχιστοποίηση συν.png (7.41 KiB) Προβλήθηκε 994 φορές

Ο γνώστης αυτού του λήμματος , μπορεί να απαντήσει κι έτσι :

$\vec{PS}=\vec{ST} \Leftrightarrow (2 , 4-y) =(x-2 , 3)\Leftrightarrow x=4 , y=1$

επομένως : $(BPT)_{min}=12$ .

Ομαλή ελαχιστοποίηση

Ομαλή ελαχιστοποίηση

Re: Ομαλή ελαχιστοποίηση

Re: Ομαλή ελαχιστοποίηση

Re: Ομαλή ελαχιστοποίηση

Re: Ομαλή ελαχιστοποίηση

Re: Ομαλή ελαχιστοποίηση

Re: Ομαλή ελαχιστοποίηση

Μέλη σε σύνδεση