Ελάχιστη διαδρομή και ύψος

KARKAR · #1

: Ελάχιστη διαδρομή και ύψος.png (11.95 KiB) Προβλήθηκε 846 φορές

$\bigstar$ Το σημείο

κινείται στην πλευρά AB=8

. Υπάρχει περίπτωση η διαδρομή : CST

,

( δηλαδή το : CS+ST

) , να γίνει μικρότερη από το διπλάσιο μήκος του ύψους

;

thepigod762 · #2

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 24, 2021 8:46 pm
Ελάχιστη διαδρομή και ύψος.png $\bigstar$ Το σημείο κινείται στην πλευρά . Υπάρχει περίπτωση η διαδρομή : ,

( δηλαδή το : ) , να γίνει μικρότερη από το διπλάσιο μήκος του ύψους ;

Έστω το μεταβλητό SB=x

και

Είναι
$CS^{2}=(8-x)^{2}+6^{2}=x^{2}-16x+100:(1)$
$\begin{cases}(10-y)^{2}+ST^{2}=CS^{2}\\ST^{2}=x^{2}-y^{2} \end{cases}\Rightarrow x^{2}-20y+100=CS^{2}\xrightarrow{(1)}y=\frac{4x}{5}\Rightarrow$
$\Rightarrow ST+CS=\frac{3x}{5}+\sqrt{x^{2}-16x+100}$

Θεωρούμε συνάρτηση $f(x)=\frac{3x}{5}+\sqrt{x^{2}-16x+100}$ και, με παραγώγους, βρίσκουμε $minf(x)=\frac{7}{2}$

Επίσης, $\Delta ABC,\Delta CAD$ όμοια και:
$\frac{6}{AD}=\frac{10}{8}\Leftrightarrow AD=\frac{24}{5}$

Παρατηρούμε πως $CS+TS>2\cdot \dfrac{24}{5}>minf(x)=\dfrac{7}{2}$

Άρα, υπάρχει τέτοια περίπτωση.

Βλέπω πως υπάρχει ακόμα και για το ίδιο το μέτρο του ύψους. Μήπως έγινε κάποιο λάθος εκεί...;

#3

thepigod762 έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 24, 2021 11:29 pm

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 24, 2021 8:46 pm
Ελάχιστη διαδρομή και ύψος.png $\bigstar$ Το σημείο κινείται στην πλευρά . Υπάρχει περίπτωση η διαδρομή : ,

( δηλαδή το : ) , να γίνει μικρότερη από το διπλάσιο μήκος του ύψους ;
Έστω το μεταβλητό και

Είναι
$CS^{2}=(8-x)^{2}+6^{2}=x^{2}-16x+100:(1)$
$\begin{cases}(10-y)^{2}+ST^{2}=CS^{2}\\ST^{2}=x^{2}-y^{2} \end{cases}\Rightarrow x^{2}-20y+100=CS^{2}\xrightarrow{(1)}y=\frac{4x}{5}\Rightarrow$
$\Rightarrow ST+CS=\frac{3x}{5}+\sqrt{x^{2}-16x+100}$

Θεωρούμε συνάρτηση $f(x)=\frac{3x}{5}+\sqrt{x^{2}-16x+100}$ και, με παραγώγους, βρίσκουμε $minf(x)=\frac{7}{2}$

Επίσης, $\Delta ABC,\Delta CAD$ όμοια και:
$\frac{6}{AD}=\frac{10}{8}\Leftrightarrow AD=\frac{24}{5}$

Παρατηρούμε πως $CS+TS>2\cdot \dfrac{24}{5}>minf(x)=\dfrac{7}{2}$

Άρα, υπάρχει τέτοια περίπτωση.

Βλέπω πως υπάρχει ακόμα και για το ίδιο το μέτρο του ύψους. Μήπως έγινε κάποιο λάθος εκεί...;

Το λάθος είναι ότι $\displaystyle x = \frac{7}{2}$ και όχι $\displaystyle \min f(x).$ Με αντικατάσταση βρίσκεις $\displaystyle \min f(x) = \frac{{48}}{5} = 2{h_a}.$

#4

KARKAR έγραψε: ↑
Τετ Νοέμ 24, 2021 8:46 pm
Ελάχιστη διαδρομή και ύψος.png $\bigstar$ Το σημείο κινείται στην πλευρά . Υπάρχει περίπτωση η διαδρομή : ,

( δηλαδή το : ) , να γίνει μικρότερη από το διπλάσιο μήκος του ύψους ;

Το ορθογώνιο $\vartriangle ABC \to \left( {8,10,6} \right)$ . Τα $\vartriangle DAC\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\vartriangle TBS$ είναι όμοια προς το $\vartriangle ABC$ .

Έτσι αν π.χ. $AD = 4k\,\,,\,\,k > 0$ θα είναι $AC = 5k = 6 \Rightarrow k = \dfrac{6}{5} \Rightarrow AD = \dfrac{{24}}{5} \Rightarrow 2AD = \dfrac{{48}}{5}\,\,\left( 1 \right)$ .

Με όμοιο τρόπο αν θέσω $SB = 5x \Rightarrow ST = 3x\,\,\kappa \alpha \iota \,\,0 \leqslant x \leqslant \dfrac{8}{5}$ .

: Ελάχιστη διαδρομή και ύψος_ok.png (10 KiB) Προβλήθηκε 764 φορές

Η συνάρτηση που δίδει το SC + ST

είναι $f(x) = 3x + \sqrt {36 + {{\left( {8 - 5x} \right)}^2}} \,\,\,,\,\,x \in \left[ {0,\dfrac{8}{5}} \right]$ .

Παρουσιάζει ελάχιστο για $x = \dfrac{7}{{10}}\,$ το $f\left( {\dfrac{7}{{10}}} \right) = \dfrac{{48}}{5} = 2AD$ . Επίσης, $f(0) = 10\,\,\kappa \alpha \iota \,\,f\left( {\dfrac{8}{5}} \right) = \dfrac{{54}}{5}$

Αφού η

συνεχής σε κλειστό διάστημα θα έχει σύνολο τιμών το διάστημα : $\left[ {\dfrac{{48}}{5},\dfrac{{54}}{5}} \right]$ .

Όταν $x = \dfrac{7}{{10}}$ θα έχω, $AS = 8 - \dfrac{{35}}{{10}} = \dfrac{{45}}{{10}} = \dfrac{9}{2}$ και τότε η διαδρομή γίνεται ελάχιστη $\left( {\dfrac{{48}}{5} = 2AD} \right)$ ενώ σε όλες τις άλλες τιμές του πεδίου ορισμού της θα είναι μεγαλύτερη .

Από πλευρά γεωμετρικής ερμηνείας :

Όταν το

«στηθεί» σε απόσταση $\dfrac{9}{2}$ από το

, τα σημεία $A\,,\,\,S$ και το συμμετρικό, έστω

, του

ως προς την

είναι συνευθειακά.

Ελάχιστη διαδρομή και ύψος

Ελάχιστη διαδρομή και ύψος

Re: Ελάχιστη διαδρομή και ύψος

Re: Ελάχιστη διαδρομή και ύψος

Re: Ελάχιστη διαδρομή και ύψος

Μέλη σε σύνδεση