Υπολογισμός χωρίς υπολογιστή

KARKAR · #1

: Υπολογιμός χωρίς υπολογιστή.png (8.99 KiB) Προβλήθηκε 1174 φορές

$\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο ABC

του σχήματος , υπολογίστε το τμήμα

( συναρτήσει του

) .

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Νοέμ 25, 2021 7:19 pm Υπολογιμός χωρίς υπολογιστή.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε το τμήμα ( συναρτήσει του ) .

$x= BC= AC-AD = c\tan \left (\frac {\pi}{8} +\frac {\pi}{4} \right ) - c \tan \frac {\pi}{8}$

Tα υπόλοιπα είναι γνωστά ή/και απλά. Για παράδειγμα από τον τύπο της μισής γωνίας έπεται $\tan \frac {\pi}{8} = \sqrt 2 -1$ . Επίσης $\tan \frac {3\pi}{8} = \tan \left ( \frac {\pi}{2} - \frac {\pi}{8} \right )= \dfrac {1}{\tan \frac {\pi}{8}}$ .

#3

KARKAR έγραψε: Πέμ Νοέμ 25, 2021 7:19 pm Υπολογιμός χωρίς υπολογιστή.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε το τμήμα ( συναρτήσει του ) .

Ας δούμε και μια διαφορετική άποψη

: υπολογισμός χωρίς υπολογιστή.png (10.69 KiB) Προβλήθηκε 1091 φορές

Έστω $\left( O \right)$ ο περίκυκλος του τριγώνου $\vartriangle BCD$ . Τότε επειδή $\angle ABD=\angle BCD={{22,5}^{0}}\Rightarrow AB$ εφαπτόμενη του $\left( O \right)$ , άρα $OB\bot AB\Rightarrow OB\parallel AC\Rightarrow OM=c$ , με $OM\bot AC$ . Αλλά $\angle DOC\overset{\varepsilon \pi \iota \kappa \varepsilon \nu \tau \rho \eta -\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \eta }{\mathop{=}}\,2\left( \angle DBC \right)={{90}^{0}}$ οπότε το τρίγωνο $\vartriangle ODC$ είναι ορθογώνιο (και ισοσκελές) και συνεπώς το ύψος του (που συμπίπτει με τη διάμεσό του) είναι το μισό της υποτείνουσας του, άρα DC=x=2c

Δεν πειράζει Θανάση που του θέματος του άλλαξα εντελώς φάκελο

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε: Πέμ Νοέμ 25, 2021 7:19 pm Υπολογιμός χωρίς υπολογιστή.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε το τμήμα ( συναρτήσει του ) .

Εστω ότι η

είναι η διχοτόμος της γωνίας $\hat{DBC}$

Τότε $AB=c=AL,BL=c\sqrt{2},AD=b-x,LD=c-b+x,LC=2b-c-x$

$\dfrac{AD}{c}=\dfrac{DL}{BL}\Rightarrow x=\dfrac{b-c+b\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1},(1), b=CL+AL=BL+AL=c(\sqrt{2}+1),(2), (1),(2)\Rightarrow x=2c$

#5

KARKAR έγραψε: Πέμ Νοέμ 25, 2021 7:19 pm Υπολογιμός χωρίς υπολογιστή.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε το τμήμα ( συναρτήσει του ) .

Ας είναι

το συμμετρικό του

ως προς το

και

η τομή των ευθειών $CE\,\,,\,\,BD$ .

: Υπολογισμός xωρίς υπολογιστή.png (17.24 KiB) Προβλήθηκε 1040 φορές

Προφανώς , $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\theta _1}} = \widehat {{\theta _2}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {{\theta _1}} + \widehat {{\theta _2}} = 2\widehat {{\theta _{}}} = 45^\circ$ . Επίσης αβίαστα προκύπτει ότι $\widehat {{P_{}}} = 90^\circ$ .

Από την ισότητα των ορθογωνίων τριγώνων $PBE\,\,\kappa \alpha \iota \,\,PCD$ έχω: BE = CD

δηλαδή, $\boxed{x = 2c}$ .

Παρατήρηση.

Είναι η γνωστή άσκηση: « Αν

το ορθόκεντρο $\vartriangle ABC$ τότε $\boxed{HA = BC \Leftrightarrow A = 45^\circ }$ »

Μιχάλης Τσουρακάκης · #6

KARKAR έγραψε: Πέμ Νοέμ 25, 2021 7:19 pm Υπολογιμός χωρίς υπολογιστή.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε το τμήμα ( συναρτήσει του ) .

Έστω $DZ \bot BC$ και $ZD \cap BA={E}$ .Τότε, $\angle BEZ= \angle BCA= \dfrac{ \pi }{8}$ άρα BE=2c

Αλλά

,άρα $\triangle BZE= \triangle ZDC$ και x=CD=BE=2c

Όσο πληκτρολογούσα ο Νίκος "ανέβασε" την ίδια λύση απ ότι βλέπω τώρα.
Την αφήνω για τον κόπο

: Υπολογισμός χωρίς υπολογιστή.png (19.69 KiB) Προβλήθηκε 1040 φορές

#7

KARKAR έγραψε: Πέμ Νοέμ 25, 2021 7:19 pm Υπολογιμός χωρίς υπολογιστή.png $\bigstar$ Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος , υπολογίστε το τμήμα ( συναρτήσει του ) .

: Υπολογισμός χωρίς υπολογιστή.png (11.89 KiB) Προβλήθηκε 1024 φορές

$\displaystyle 1 = \tan 45^\circ = \frac{{2\tan 22,5^\circ }}{{1 - {{\tan }^2}22,5^\circ }} \Leftrightarrow \tan 22,5^\circ = \sqrt 2 - 1 \Leftrightarrow$ $\boxed{b = c\left( {\sqrt 2 + 1} \right)}$ (1)

Από την ομοιότητα των τριγώνων ADB, ABC

είναι $\displaystyle \frac{c}{b} = \frac{{b - x}}{c} \Leftrightarrow x = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{b}\mathop = \limits^{(1)} \frac{{{c^2}(2 + 2\sqrt 2 )}}{{c(\sqrt 2 + 1)}} \Leftrightarrow$ $\boxed{x=2c}$

Υπολογισμός χωρίς υπολογιστή

Υπολογισμός χωρίς υπολογιστή

Re: Υπολογισμός χωρίς υπολογιστή

Re: Υπολογισμός χωρίς υπολογιστή

Re: Υπολογισμός χωρίς υπολογιστή

Re: Υπολογισμός χωρίς υπολογιστή

Re: Υπολογισμός χωρίς υπολογιστή

Re: Υπολογισμός χωρίς υπολογιστή

Μέλη σε σύνδεση