Παραγωγίσιμη συνάρτηση

ttheodoros · #1

Έστω $f, g:(\alpha, \beta) \rightarrow \mathbb R$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τέτοιες ώστε $f \neq g$ . Ορίζουμε την συνάρτηση
$h(x):=\max\{f(x), g(x)\}$ , $x \in (\alpha, \beta)$ .

Να προσδιορίσετε τα σημεία του διαστήματος $(\alpha, \beta)$ στα οποία η συνάρτηση h(x)

είναι παραγωγίσιμη.

#2

ttheodoros έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 9:10 pm Έστω $f, g:(\alpha, \beta) \rightarrow \mathbb R$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τέτοιες ώστε $f \neq g$ . Ορίζουμε την συνάρτηση
$h(x):=\max\{f(x), g(x)\}$ , $x \in (\alpha, \beta)$ .

Να προσδιορίσετε τα σημεία του διαστήματος $(\alpha, \beta)$ στα οποία η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη.

Για να προσδιορίσουμε όλα-όλα τα σημεία δεν γίνεται γιατί εξαρτάται από τις συναρτήσεις (παραδείγατα παρακάτω). Αυτό που μπορούμε να πούμε με βεβαιότητα είναι να βρούμε τα σημεία όπου, σε όλες τις περιπτώσεις, η

είναι παραγωγίσιμη. Συγκεκριμένα, θα δούμε ότι η

είναι παραγωγίσιμη (τουλάχιστον) στα σημεία του συνόλου $\{x \in (a,\,b)\,\, | \,\, f(x)\ne g(x)\,\, \}$ .

Πράγματι, έστω σε κάποιο

είναι $f(c)\ne g(c)$ . Χωρίς βλάβη f(c) >g(c)

(αν ήταν ανάποδα, το επιχείδημα δεν αλλάζει). Έτσι h(c)=f(c)

και

. Λόγω συνεχείας υπάρχει διάστημα $(d,\,e)$ που περιέχει το

με

στο εν λόγω διάστημα, και άρα, εκεί, h(x)=f(x)

. Έπεται αμέσως ότι η

είναι παραγωγίσιμε στο

αφού σε ολόκληρο διάστημα γύρω από το

οι $h,\,f$ ταυτίζονται.

Παραδείγματα.

α) Οι $f(x)=x,\, g(x) = -x$ δίνουν h(x)=|x|

η οποία είναι παραγωγίσιμη ακριβώς στο σύνολο που περιέγραψα, εδώ $\{ x\in \mathbb R\, |\, x\ne 0\}$

β) Οι $f(x)= x^2,\, g(x)=2x^2$ έχουν h(x)=2x^2

η οποία είναι παντού παραγωγίσιμη, συμπεριλαμβανομένου του σημείου x=0

, όπου οι συναρτήσεις f,g

είναι ίσες.

ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΣΤΑΥΡΟΣ · #3

ttheodoros έγραψε: Τρί Νοέμ 30, 2021 9:10 pm Έστω $f, g:(\alpha, \beta) \rightarrow \mathbb R$ παραγωγίσιμες συναρτήσεις, τέτοιες ώστε $f \neq g$ . Ορίζουμε την συνάρτηση
$h(x):=\max\{f(x), g(x)\}$ , $x \in (\alpha, \beta)$ .

Να προσδιορίσετε τα σημεία του διαστήματος $(\alpha, \beta)$ στα οποία η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη.

Σίγουρα είναι για πιο κάτω φάκελλο.
Και για Γ Λυκείου γίνεται.

Το πρώτο είναι ότι
$h(x)=\frac{1}{2}(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)$
που σχεδόν είναι τετριμμένο αφού ισχύει για αριθμούς.

Το δεύτερο είναι
Αν $r:(\alpha, \beta) \rightarrow \mathbb R$
παραγωγίσημη συνάρτηση τότε η |r|

παραγωγίζεται
στο σύνολο
$(\left \{ x:r(x)\neq 0 \right \}\cup \left \{ x:r(x)=r'(x)=0 \right \})\cap(\alpha, \beta)$
και μόνο σε αυτό.
Είναι μια καλή άσκηση για την Γ Λυκείου.

Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Re: Παραγωγίσιμη συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση