Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του

#1

: Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του.png (20.51 KiB) Προβλήθηκε 1298 φορές

Αν είναι η ορθή προβολή του ορθοκέντρου τριγώνου $\vartriangle ABC$ στη διάμεσό του , να δείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά

Στάθης

#2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Δευ Δεκ 06, 2021 12:47 pm Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του.png
Αν είναι η ορθή προβολή του ορθοκέντρου τριγώνου $\vartriangle ABC$ στη διάμεσό του , να δείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά

Στάθης

: Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του_ok.png (37.18 KiB) Προβλήθηκε 1264 φορές

Ας είναι $AD\,\,\kappa \alpha \iota \,\,BE$ τα ύψη του $\vartriangle ABC$ και

το μέσο του

. Το τετράπλευρο AHKE

είναι προφανώς εγράψιμο .

Επειδή $AK \cdot AM = AH \cdot AD = AE \cdot AC$ θα είναι εγράψιμο και το τετράπλευρο KMCE

.

Ο κύκλος του Euler

διέρχεται από τα DMEN

και άρα η

είναι εφαπτομένη του κύκλου $\left( {N,NE} \right)$ ( δηλαδή του $\left( {A,H,K,E} \right)$ )

Μετά απ’ αυτά: $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{a_1}}$ ( Υπό χορδής κι εφαπτομένης ) και $\widehat {{\theta _{}}} = \widehat {{\omega _{}}}$ . ( από το εγγράψιμο KMCE

).

Άρα $\boxed{\widehat {{a_1}} = \widehat {{\omega _{}}}}$ που μου εξασφαλίζει αυτό που θέλω.

#3

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Δευ Δεκ 06, 2021 12:47 pm Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του.png
Αν είναι η ορθή προβολή του ορθοκέντρου τριγώνου $\vartriangle ABC$ στη διάμεσό του , να δείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά

Στάθης

Αρκεί να δείξω ότι $\displaystyle B\widehat KC = 180^\circ - \widehat A.$ Έστω ότι η

τέμνει τον περιγεγραμμένο κύκλο στο

: Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του.png (18.1 KiB) Προβλήθηκε 1240 φορές

$\displaystyle AH \cdot AD = AK \cdot AM \Leftrightarrow (2R\cos A)\frac{{bc}}{{2R}} = AM(AM - KM) \Leftrightarrow bc\cos A = A{M^2} - AM \cdot KM$

$\displaystyle AM \cdot KM = \frac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4} - \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{2} = \frac{{{a^2}}}{4} = AM \cdot ME \Leftrightarrow KM = ME.$

Άρα το BECK

είναι παραλληλόγραμμο, απ' όπου $\displaystyle B\widehat KC = B\widehat EC = 180^\circ - \widehat A$ που αποδεικνύει το ζητούμενο.

ΥΓ. Θεώρησα ότι η $\widehat A$ είναι οξεία. Αν είναι ορθή τα σημεία K, H, A

ταυτίζεται και το συμπέρασμα ισχύει,

ενώ αν είναι αμβλεία εργαζόμαστε ανάλογα με $\displaystyle AH = - 2R\cos A$ και $\displaystyle AK \cdot AM = AM(KM-AM)$ .

#4

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Δευ Δεκ 06, 2021 12:47 pm Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του.png
Αν είναι η ορθή προβολή του ορθοκέντρου τριγώνου $\vartriangle ABC$ στη διάμεσό του , να δείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά

Στάθης

Ας δούμε και μια διαφορετική αντιμετώπιση του προβλήματος

: Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του.png (30.35 KiB) Προβλήθηκε 1238 φορές

Έστω $L\equiv AK\cap \left( O \right),L\ne A$ , όπου $\left( O \right)$ ο περίκυκλος του τριγώνου $\vartriangle ABC$
Το συμμετρικό

του ορθοκέντρου ως προς το μέσο

της

ταυτίζεται με το αντιδιαμετρικό του

ως προς τον $\left( O \right)$ (γνωστή πρόταση) και με $HK\parallel LT$ (κάθετες στην

) θα είναι και

το μέσο της $KL\overset{M\,\,\mu \varepsilon \sigma o\,\,\tau \eta \varsigma \,\,BC}{\mathop{\Rightarrow }}\,KBLC$ παραλληλόγραμμο , άρα $\angle BKC=\angle BLC={{180}^{0}}-\angle A=\angle BHC\Rightarrow B,H,K,C$ ομοκυκλικά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Υ.Σ. Όση ώρα έγραφα ο Γιώργος έδωσε μια παρόμοια απόδειξη στηριζόμενη στο παραλληλόγραμμο αλλά επειδή έχουμε διαφορετικό τρόπο απόδειξης του παραλληλογράμμου αφήνω την απάντηση

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Δευ Δεκ 06, 2021 12:47 pm Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του.png
Αν είναι η ορθή προβολή του ορθοκέντρου τριγώνου $\vartriangle ABC$ στη διάμεσό του , να δείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά

Στάθης

Λόγω των εγγράψιμμων AEHK,KHDM

οι πράσινες γωνίες είναι ίσες και προφανώς και οι κόκκινες

Επομένως EKMB

εγγράψιμμο,συνεπώς και οι μπλε γωνίες είναι ίσες με $\angle B$

Άρα $\angle EAH= \angle HKB$ ως συμπληρώματα της $\angle B$ .

Τελικά $\angle HKB= \angle HCB \Rightarrow B,H,K,C$ ομοκυκλικά

: ομοκυκλικά.png (19.21 KiB) Προβλήθηκε 1193 φορές

STOPJOHN · #6

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: Δευ Δεκ 06, 2021 12:47 pm Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του.png
Αν είναι η ορθή προβολή του ορθοκέντρου τριγώνου $\vartriangle ABC$ στη διάμεσό του , να δείξετε ότι τα σημεία είναι ομοκυκλικά

Στάθης

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο $HKMD,AH.AD=AK.AM\Leftrightarrow KM=AM-\dfrac{AH.AD}{AM},(1), 2KM.AM=2AM^{2}-2AH.AD,(2)$

Απο τη βασική ασκηση

$2AH.AD=b^{2}+c^{2}-a^{2},(3)$

και το θεώρημα διαμέσων $KM.AM=\dfrac{BC^{2}}{4}\Leftrightarrow \dfrac{KM}{MC}=\dfrac{MC}{AM}$

Οπότε τα τρίγωνα KMC,AMC

είναι όμοια γιατί εχουν μια γωνία κοινή και απο τη τελευταία σχέση τις

πλευρές της κοινής γωνίας ανάλογες Συνεπώς , $\hat{MAC}=\hat{KCM}=\hat{EHK}$ λόγο του εγραψίμου

τετραπλεύρου AHKE

και το τετράπλευρο BHKC

είναι εγγράψιμο

#7

Στο σκεπτικό της απόδειξης του Γιωργου Βισβίκη πιο πάνω ( δημοσίευση #3 ), το παραλληλόγραμμο BKCE

προκύπτει άμεσα από MK = ME

, λόγω της συμμετρίας των κύκλων $(ABC),\ (BHC)$ ως προς το μέσον

της κοινής χορδής τους

, αφού ως γνωστό οι κύκλοι αυτοί είναι ίσοι.

Κώστας Βήττας.

#8

Παίρνουμε το συμμετρικό

του

ως προς

. Καθώς το συμμετρικό του ορθοκέντρου ανήκει στον περίκυκλο του ABC

, αρκεί να αποδείξουμε ότι $H'E\perp A'M$ καθώς το

είναι το συμμετρικό του

ως προς

.
Το τελευταίο προκύπτει άμεσα, καθώς το σημείο

όπου η

τέμνει τον περίκυκλο ABC

είναι αντιδιαμετρικό του

, λόγω της $AN\perp AA$ '.

Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του

Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του

Re: Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του

Re: Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του

Re: Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του

Re: Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του

Re: Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του

Re: Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του

Re: Στον ίδιο κύκλο με την προβολή του

Μέλη σε σύνδεση