Γινόμενο εφαπτομένων

KARKAR · #1

: Γινόμενο εφαπτομένων.png (6.9 KiB) Προβλήθηκε 945 φορές

Στην προέκταση της διαμέτρου AB=8

ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο

από το οποίο φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα

. Υπολογίστε το τμήμα BS=x

, αν ξέρετε ότι : $\tan \theta \cdot \tan\phi=\dfrac{4}{15}$

#2

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 22, 2021 7:32 pm Γινόμενο εφαπτομένων.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο από το οποίο φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το τμήμα , αν ξέρετε ότι : $\tan \theta \cdot \tan\phi=\dfrac{4}{15}$

Αν

το κέντρο του κύκλου, τότε $\widehat {TKS}=2\theta$ . Άρα $2\theta + \phi =90$ και συνεπώς

$\dfrac{4}{15}= \tan \theta \cdot \tan\phi=\dfrac{\tan \theta }{\tan 2 \theta }= \dfrac {\tan \theta }{ \dfrac {2\tan \theta }{1-\tan ^2 \theta}}= \frac {1}{2} (1-\tan ^2 \theta)$ . Άρα $\tan ^2 \theta = \frac {7}{15}$ και άρα $\cos 2\theta = \dfrac {1-\tan ^2 \theta } {1+\tan ^2 \theta }= \dfrac {4}{11}$ .

Είναι τώρα $4+x=KS = \dfrac {KT} {\cos 2\theta } =\dfrac {4} {4/11}=11$ , οπότε x=7

#3

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 22, 2021 7:32 pm Γινόμενο εφαπτομένων.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο από το οποίο φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το τμήμα , αν ξέρετε ότι : $\tan \theta \cdot \tan\phi=\dfrac{4}{15}$

: Γινόμενο εφαπτομένων.png (16.61 KiB) Προβλήθηκε 917 φορές

Αν

η ορθή προβολή του

στην

τότε η σειρά $\left( A,K,B,S \right)$ είναι προφανώς αρμονική TB,TA

η εσωτερική και εξωτερική διχοτόμος του τριγώνου $\vartriangle KTS$ ) και συνεπώς $\dfrac{KB}{BS}=\dfrac{AK}{AS}\Rightarrow \dfrac{KB}{x}=\dfrac{8-KB}{8+x}\Rightarrow \ldots KB=\dfrac{4x}{x+4}$
Επίσης είναι $KB\overset{\vartriangle AKB}{\mathop{=}}\,TK\cdot \tan \theta$ και $TK\overset{\vartriangle TKS}{\mathop{=}}\,KS\cdot \tan \varphi =\left( x+KB \right)\cdot \tan \varphi$ οπότε
$\dfrac{4x}{x+4}=\left( x+\dfrac{4x}{x+4} \right)\tan \theta \cdot \tan \varphi \Leftrightarrow \dfrac{4x}{x+4}=\left( x+\dfrac{4x}{x+4} \right)\tan \theta \cdot \tan \varphi \Leftrightarrow$
$\dfrac{4x}{x+4}=\dfrac{4}{15}\cdot \dfrac{x\left( x+8 \right)}{x+4}\Leftrightarrow x+8=15\Leftrightarrow x=7$

#4

Ας είναι

η προβολή του

στην διάμετρο . Ως γνωστό η τετράδα $\left( {D,S\backslash A,B} \right)$ είναι αρμονική. Θέτω: $DB = k\,\,,\,\,DA = u\,\,\kappa \alpha \iota \,\,TD = m$ .

Από την αρμονική αναλογία : $\dfrac{{BD}}{{BS}} = \dfrac{{AD}}{{AS}}$ έχω : $\dfrac{k}{x} = \dfrac{u}{{u + k + x}} \Rightarrow \dfrac{k}{x} = \dfrac{{8 - k}}{{8 + x}} \Rightarrow \boxed{k = \dfrac{{4x}}{{x + 4}}}\,\left( 1 \right)$ .
.

: γινόμενο εφαπτομένων.png (13.78 KiB) Προβλήθηκε 908 φορές

.
Μετά : $u = 8 - k = 4\dfrac{{x + 8}}{{x + 4}}\,\,,\,\,{m^2} = ku \Rightarrow m = \dfrac{{4\sqrt {x\left( {x + 8} \right)} }}{{x + 4}}\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,b = k + x = \dfrac{{x\left( {x + 8} \right)}}{{x + 4}}$ .

Επειδή : $\tan \theta \cdot \tan \phi = \dfrac{4}{{15}} \Rightarrow \dfrac{m}{u} \cdot \dfrac{m}{b} = \dfrac{4}{{15}} \Rightarrow \dfrac{4}{{x + 8}} = \dfrac{4}{{15}} \Rightarrow \boxed{x = 7}$ .

Παρατήρηση: Αναμενόμενο να έχω παρεμφερή λύση με τον , Πρεσβευτή των Ελλήνων Μαθηματικών στις Βρυξέλλες ( και όχι μόνο). Την αφήνω για τον κόπο.

Μιχάλης Τσουρακάκης · #5

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 22, 2021 7:32 pm Γινόμενο εφαπτομένων.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο από το οποίο φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το τμήμα , αν ξέρετε ότι : $\tan \theta \cdot \tan\phi=\dfrac{4}{15}$

Στο τρίγωνο TBS

από την $tan \theta .tan \phi .tan( \dfrac{ \pi }{2}+ \theta )= tan \theta +tan \phi+tan( \dfrac{ \pi }{2}+ \theta )$ εύκολα έχουμε $tan^2 \theta = \dfrac{7}{15}$

Από $\triangle TAS \simeq \triangle TBS \Rightarrow (\dfrac{AT}{TB})^2= \dfrac{AS^2}{ST^2} \Rightarrow cot^2 \theta = \dfrac{(x+8)^2}{x(x+8)} \Rightarrow \dfrac{15}{7}= \dfrac{x+8}{x} \Rightarrow x=7$

: γινόμενο εφαπτομένων.png (7.74 KiB) Προβλήθηκε 894 φορές

Ιστοσελίδα · #6

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 22, 2021 7:32 pm Στην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο από το οποίο φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το τμήμα , αν ξέρετε ότι : $\tan \theta \cdot \tan\phi=\dfrac{4}{15}$

Καλημέρα!

: shape.png (11.71 KiB) Προβλήθηκε 875 φορές

Έστω

το κέντρο του ημικυκλίου και $BC \bot ST$

Από $\triangle SBC \sim \triangle SOT \Rightarrow \dfrac{y}{x} = \dfrac{4}{{(x + 4)}} \Leftrightarrow {y^2} = \dfrac{{16{x^2}}}{{{{(x + 4)}^2}}}\,\,(1)$

Από $\triangle AST \sim \triangle TSB \Rightarrow \dfrac{{k(x + 4)}}{x} = \dfrac{{(x + 8)}}{{k(x + 4)}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{k^2}}} = \dfrac{{{{(x + 4)}^2}}}{{x(x + 8)}}\,\,(2)$

Από $\tan \theta \cdot \tan \varphi = \dfrac{4}{{15}} \Leftrightarrow \dfrac{y}{{4k}} \cdot \dfrac{y}{{kx}} = \dfrac{4}{{15}}\mathop \Leftrightarrow \limits^{(1),(2)} x = 7$

#7

KARKAR έγραψε: Τετ Δεκ 22, 2021 7:32 pm Γινόμενο εφαπτομένων.pngΣτην προέκταση της διαμέτρου ενός ημικυκλίου , θεωρούμε σημείο από το οποίο φέρουμε

το εφαπτόμενο τμήμα . Υπολογίστε το τμήμα , αν ξέρετε ότι : $\tan \theta \cdot \tan\phi=\dfrac{4}{15}$

Έστω

το κέντρο του ημικυκλίου. Από το

φέρνω κάθετη στην

που την τέμνει στο

Προφανώς, $\displaystyle E\widehat AT = \theta$

: Γινόμενο εφαπτομένων.png (14.4 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές

$\displaystyle \frac{{ET}}{{ES}} = \frac{{AO}}{{AS}} = \frac{4}{{8 + x}} \Leftrightarrow \frac{{ET}}{{AE}} \cdot \frac{{AE}}{{ES}} = \frac{4}{{8 + x}} \Leftrightarrow \tan \theta \tan \varphi = \frac{4}{{8 + x}} \Leftrightarrow \frac{4}{{15}} = \frac{4}{{8 + x}}\Leftrightarrow$ $\boxed{x=7}$

nickchalkida · #8

Επειδή

$\displaystyle{ \begin{aligned} & \left. \begin{aligned} & {x \over h}{y \over h} = {4 \over 15} \cr CFB \sim AFC \rightarrow & {y \over h} = {h \over x+4} \end{aligned} \right\} \rightarrow {15xy \over 4} = y(x+4) \rightarrow x = {16 \over 11} \cr & \cr & CDF \sim CDS \rightarrow {4 \over x} = {DS \over 4} \rightarrow DS = 11 \rightarrow BS=7 \cr \end{aligned} }$

#9

Γενίκευση: Αν

είναι η ακτίνα του ημικυκλίου και $\displaystyle \tan \theta \tan \varphi = \frac{m}{n},$ τότε $\boxed{x = \left( {\frac{{n - 2m}}{m}} \right)R}$

Γινόμενο εφαπτομένων

Γινόμενο εφαπτομένων

Re: Γινόμενο εφαπτομένων

Re: Γινόμενο εφαπτομένων

Re: Γινόμενο εφαπτομένων

Re: Γινόμενο εφαπτομένων

Re: Γινόμενο εφαπτομένων

Re: Γινόμενο εφαπτομένων

Re: Γινόμενο εφαπτομένων

Re: Γινόμενο εφαπτομένων

Μέλη σε σύνδεση