Τύπος για τη σταθερά του Catalan

Πεδγια · #1

Καλημέρα! Καλή Χρονιά!
Μπορεί κάποιος να αποδείξει αυτόν τον τύπο:

$\displaystyle{G=\ln\left(\frac{8}{e}\right)-\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{32n^2-1}{n\left(16n^2-1\right)^2}}$

όπου G είναι η σταθερά του Catalan.
Αριθμητικός υπολογισμός: SageMathCell

Tolaso J Kos · #2

Λήμμα 1: Η συνάρτηση διγάμμα ορίζεται ως $\displaystyle{\psi^{(0)} \left ( 1 +z \right ) = - \gamma + \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{n} - \frac{1}{z+n} \right )}$ .

Λήμμα 2: Ισχύει ότι $\displaystyle{\psi^{(0)}(z+1) = \frac{1}{z} + \psi^{(0)}(z)}$ .

Λήμμα 3: Ισχύει $\displaystyle{\psi^{(0)} \left ( 1 -z \right ) - \psi^{(0)} \left ( z \right ) = \pi \cot \pi z}$ .

Λήμμα 4: Ισχύει ότι $\displaystyle{\psi^{(0)} \left( \frac{1}{4} \right) = - \frac{\pi}{2} - 3 \ln 2 - \gamma}$ .

Λήμμα 5: Η συνάρτηση τριγάμμα ορίζεται ως $\displaystyle{\psi^{(1)}(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left ( z+n \right )^2}}$ .

Λήμμα 6: Ισχύει ότι $\displaystyle{\psi^{(1)}(1+z) = \psi^{(1)}(z) - \frac{1}{z^2}}$ .

Λήμμα 7: Ισχύει ότι $\displaystyle{\psi^{(1)}(1-z) + \psi^{(1)}(z) = \frac{\pi^2}{\sin^2 \pi z}}$ .

Λήμμα 8: Ισχύει ότι $\displaystyle{\psi^{(1)}\left( \frac{1}{4} \right) = \pi^2 + 8 \mathcal{G}}$ .

Ξεκινάμε με την απλή παρατήρηση ότι

$\displaystyle{\frac{32n^2-1}{n \left ( 16n^2 - 1 \right )^2} = \frac{2}{4n-1} + \frac{2}{4n+1} + \frac{1}{\left ( 4n-1 \right )^2} - \frac{1}{\left ( 4n+1 \right )^2}- \frac{1}{n}}$
Τότε,

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{2}{4n-1} + \frac{2}{4n+1} - \frac{1}{n} \right ) &= \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{2n-\frac{1}{2}} + \frac{1}{2n+\frac{1}{2}} - \frac{1}{n} \right ) \\ &= \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n-\frac{1}{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n + \frac{1}{4}} - \frac{1}{n} \right ) \\ &=\sum_{n=1}^{\infty} \left ( -\frac{1}{2n} + \frac{1}{2 \left ( n - \frac{1}{4} \right )} -\frac{1}{2n} + \frac{1}{2 \left ( n + \frac{1}{4} \right )} \right ) \\ &=-\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n - \frac{1}{4}} \right ) - \frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+ \frac{1}{4}} \right ) \\ &= -\frac{1}{2} \cdot \left ( \psi^{(0)} \left ( 1 - \frac{1}{4} \right ) + \gamma \right ) - \frac{1}{2} \cdot \left ( \psi^{(0)} \left ( 1 + \frac{1}{4} \right ) + \gamma \right ) \\ &= -\frac{1}{2} \psi^{(0)} \left ( \frac{3}{4} \right ) - \frac{1}{2} \psi^{(0)} \left ( \frac{5}{4} \right ) - \gamma \\ &= -\frac{1}{2} \psi^{(0)} \left ( \frac{3}{4} \right ) - \frac{1}{2} \left ( 4 + \psi^{(0)} \left ( \frac{1}{4} \right ) \right ) - \gamma \\ &= -\frac{1}{2} \psi^{(0)} \left ( \frac{3}{4} \right ) - 2 - \frac{1}{2} \psi^{(0)}\left ( \frac{1}{4} \right ) - \gamma \\ & = -\frac{1}{2} \left ( \psi^{(0)} \left ( \frac{3}{4} \right ) - \psi^{(0)} \left ( \frac{1}{4} \right ) \right ) - \psi^{(0)} \left ( \frac{1}{4} \right ) - 2 - \gamma \\ &= -\frac{\pi \cot \frac{\pi}{4}}{2} - \psi^{(0)} \left ( \frac{1}{4} \right ) - 2 - \gamma \\ &= -\frac{\pi}{2} - 2 - \gamma - \psi^{(0)} \left ( \frac{1}{4} \right ) \\ &=-\frac{\pi}{2}- 2 - \gamma - \left ( - \frac{\pi}{2} - 3 \ln 2 - \gamma \right ) \\ &= 3 \ln 2 - 2 \end{aligned}}$
Τέλος,

$\displaystyle{\begin{aligned} \sum_{n=1}^{\infty} \left ( \frac{1}{(4n-1)^2} - \frac{1}{\left ( 4n+1 \right )^2} \right ) &= \frac{1}{16} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left ( n - \frac{1}{4} \right )^2} - \frac{1}{16} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left ( n + \frac{1}{4} \right )^2} \\ &=\frac{1}{16} \left ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left ( n - \frac{1}{4} \right )^2} + 16 - 16 \right ) - \frac{1}{16} \left ( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\left ( n + \frac{1}{4} \right )^2} + 16 - 16 \right ) \\ &= \frac{1}{16}\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left ( n - \frac{1}{4} \right )^2}- 1 - \frac{1}{16} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{\left ( n + \frac{1}{4} \right )^2} + 1 \\ &=\frac{1}{16} \left (\psi^{(1)} \left ( -\frac{1}{4} \right ) - \psi^{(1)} \left ( \frac{1}{4} \right ) \right ) \\ &= \frac{1}{16}\left ( 2 \pi^2 - \psi^{(1)} \left ( \frac{5}{4} \right ) - \psi^{(1)} \left ( \frac{1}{4} \right ) \right ) \\ &=\frac{1}{16} \left ( 2 \pi^2 - 2\psi^{(1)} \left ( \frac{1}{4} \right ) + 16 \right ) \\ &= \frac{1}{16} \left ( 2 \pi^2 - 2 \left ( \pi^2 + 8 \mathcal{G} \right ) + 16 \right ) \\ &= 1 - \mathcal{G} \end{aligned}}$
Μαζεύοντας τα όλα παίρνουμε το αποτέλεσμα.

Πεδγια · #3

@Tolaso Ευχαριστώ!

Τύπος για τη σταθερά του Catalan

Τύπος για τη σταθερά του Catalan

Re: Τύπος για τη σταθερά του Catalan

Re: Τύπος για τη σταθερά του Catalan

Μέλη σε σύνδεση