Είναι πρώτος;

#1

: Είναι πρώτος;.png (12.59 KiB) Προβλήθηκε 647 φορές

Το τετράπλευρο ABCD

είναι εγγεγραμμένο σε ημικύκλιο διαμέτρου AB=c

με

και

$AD=b\ne a.$ Αν οι a, b, c

είναι θετικοί ακέραιοι, να εξετάσετε αν ο

μπορεί να είναι πρώτος αριθμός.

#2

Από το θεώρημα Πτολεμαίου ισχύει $\displaystyle{ab+ac=BD\cdot AC}$ και από το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι $\displaystyle{BD^2=c^2-b^2}$ και $\displaystyle{AC^2=c^2-a^2,}$

οπότε προκύπτει

$\displaystyle{(ab+ac)^2=(c^2-b^2)(c^2-a^2)}$ άρα $\displaystyle{2a^2=c(c-b).}$

Από εδώ είναι $\displaystyle{c>b.}$

Αν $\displaystyle{c}$ ήταν περιττός πρώτος, θα ήταν $\displaystyle{c|a}$ άρα $\displaystyle{a=mc,}$ οπότε $\displaystyle{2m^2c=c-b}$ οπότε $\displaystyle{c|b,}$ άτοπο, αφού $\displaystyle{c>b.}$

Η περίπτωση $\displaystyle{c=2}$ είναι φανερά αδύνατη.

Είναι πρώτος;

Είναι πρώτος;

Re: Είναι πρώτος;

Μέλη σε σύνδεση