Το "λάθος"

KARKAR · #1

Αν :

και

, τότε :

Αν :

και

, τότε :

Η άσκηση δόθηκε ( υποθετικά ) σε μαθητές του ( σημερινού) Λυκείου .

#2

Δεν γνωρίζουμε το επίπεδο των μαθητών , ούτε την τάξη.

Αν είναι Α΄Λυκείου βλέπω πιθανό και το
$\displaystyle \begin{array}{l} a + b = 2 \Rightarrow {a^3} + {b^3} = {2^3} = 8\\ a + b = 3 \Rightarrow {a^3} + {b^3} = {3^3} = 27 \end{array}$
... η άλλη σχέση της υπόθεσης , απλά δεν χρειάζεται ...

Αν είναι πιο σοβαροί θα το λύσουν κάπως έτσι :
$\displaystyle \begin{array}{l} a + b = 2\\ {a^2} + {b^2} = 3 \Rightarrow {(a + b)^2} - 2ab = 3 \Rightarrow ab = \frac{1}{2}\\ {a^3} + {b^3} = (a + b)({a^2} - ab + {b^2}) = 2(3 - 1/2) = 5\\ \\ a + b = 3\\ {a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow {(a + b)^2} - 2ab = 3 \Rightarrow ab = 3\\ {a^3} + {b^3} = 3(9 - 3) = 18 \end{array}$
αδιαφορώντας για την ψευδή υπόθεση

Αν είναι Β΄Λυκείου ή παραπάνω θα το πάρουν σαν σύστημα
$\displaystyle {a^2} + {b^2} = 3 \Rightarrow {a^2} + {(2 - a)^2} = 3 \Rightarrow 2{a^2} - 4a + 1 = 0$
κι αφού η τελευταία δεν έχει "καλές" ρίζες θα την παρατήσουν

Για τη δεύτερη περίπτωση :
$\displaystyle {a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow {a^2} + {(3 - a)^2} = 2 \Rightarrow 2{a^2} - 6a + 7 = 0$
κι αφού $\displaystyle \Delta < 0$ το σύστημα είναι αδύνατο άρα δεν υπάρχουν τέτοια $\displaystyle a,b$
οπότε το $\displaystyle {a^3} + {b^3}$ δεν υπολογίζεται
Αν κάποιος σκεφτεί να σχεδιάσει τις γραμμές της υπόθεσης θα δεί ότι ο κύκλος και η ευθεία
δεν τέμνονται άρα πάλι δεν υπάρχουν τέτοια $\displaystyle a,b$

#3

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 28, 2022 7:56 pm Αν : και , τότε :

Αν : και , τότε :

Η άσκηση δόθηκε ( υποθετικά ) σε μαθητές του ( σημερινού) Λυκείου .

H άσκηση είναι το ξαδελφάκι αυτής, οπότε είμαστε διπλά προσεκτικοί.

α) Οι δύο πρώτες δίνουν 3=a^2+b^2=a^2+(2-a)^2= 2a^2-4a+4

. Άρα

. Λύνω την εξίσωση. Θα βρω (πραγματικές) ρίζες $a= \dfrac {2\pm \sqrt 2}{2}$ από όπου και το

. Πάμε τώρα να υπολογίσουμε το a^3+b^3

για τις τιμές που βρήκαμε.

Ουφ, πολλές οι πράξεις. Ας βρούμε άλλο τρόπο τώρα που εξασφαλίσαμε ότι έχει πραγματικές ρίζες: Είναι

2ab= (a+b)^2-(a^2+b^2)= 4-3=1

, οπότε $ab= \dfrac {1}{2}$ . Άρα

$a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)= 8-3\cdot \dfrac {1}{2}\cdot 2=5$

β) Τώρα που πονηρευτήκαμε από το ποστ που παρέπεμψα, έχουμε $\displaystyle{3=a+b \le \sqrt {1^2+1^2}\sqrt {a^2+b^2} = \sqrt 2 \sqrt 3 = \sqrt 6}$ .

Όπααααα, αυτό δε γίνεται αφού $\sqrt 6 \approx 2,45$ και άρα κάποιον λάκκο έχει η φάβα. Μου την έστησε ο Θανάσης και άντε βγάλε άκρη. Μήπως το μήνυμα του είναι να σκεφτόμαστε να επιστρέψουν οι μιγαδικοί στο (σημερινό) Λύκειο; Ποιος ξέρει;

Edit: Με πρόλαβε ο συντοπίτης. Το αφήνω.

#4

Το βρήκα το λάθος. Γράφω παρακάτω τη σωστή διατύπωση.

KARKAR έγραψε: Παρ Ιαν 28, 2022 7:56 pm Αν : και , τότε :

Αν : και , τότε :

Η άσκηση δόθηκε ( σήμερα ) σε μαθητές του (υποθετικού) Λυκείου .

(Αργότερα, μέσα στο Σαββατοκύριακο, θα επιχειρήσω μιαν άλλη προσέγγιση "επί της ουσίας" του ερωτήματος).

edit (15:40):

1ο) Έστω ότι υπάρχουν $\displaystyle a,b \in R$ που να ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες.

Από την ταυτότητα $\displaystyle {\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab$ και την υπόθεση, έχουμε $\displaystyle ab = \frac{1}{2}$ (1).

Επίσης, από ταυτότητα Euler, (που υπήρχε μέχρι πριν λίγα χρόνια στο σχολικό βιβλίο της Α΄Λυκείου), έχουμε

$\displaystyle a + b - 2 = 0 \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {\left( { - 2} \right)^3} = 3ab\left( { - 2} \right)\mathop = \limits_{\left( 1 \right)} - 3$

$\displaystyle \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 8 - 3 = 5$ .

Τα a,b

είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle {x^2} - 2x + \frac{1}{2} = 0$ που έχει θετική διακρίνουσα, άρα υπάρχουν $\displaystyle a,b \in R$ που να ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες.

2ο) Έστω ότι υπάρχουν $\displaystyle a,b \in R$ που να ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες.

Από την ταυτότητα $\displaystyle {\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + 2ab$ και την υπόθεση, έχουμε $\displaystyle ab = \frac{7}{2}$ (1).

Επίσης, από ταυτότητα Euler έχουμε

$\displaystyle a + b - 3 = 0 \Rightarrow {a^3} + {b^3} + {\left( { - 3} \right)^3} = 3ab\left( { - 3} \right)\mathop = \limits_{\left( 1 \right)} - \frac{{63}}{2}$

$\displaystyle \Leftrightarrow {a^3} + {b^3} = 27 - \frac{{63}}{2} = - \frac{9}{2}$ , αδύνατο, αφού οι a,b

είναι ομόσημοι με θετικό άθροισμα, άρα θετικοί.

(Επίσης, μπορούμε να καταλήξουμε στο άτοπο, βλέποντας ότι τα a,b

είναι ρίζες της εξίσωσης $\displaystyle {x^2} - 3x + \frac{7}{2} = 0$ που έχει αρνητική διακρίνουσα, άρα δεν υπάρχουν $\displaystyle a,b \in R$ που να ικανοποιούν τις αρχικές συνθήκες.

Θα ελέγξουμε με διαφορετικό τρόπο τη συμβατότητα των αρχικών υποθέσεων:

Για το 1ο:

Έστω $\displaystyle a = \sqrt 3 \sigma \upsilon \nu \varphi ,\;\;b = \sqrt 3 \eta \mu \varphi ,\;\forall \varphi \in R$ , οπότε $\displaystyle {a^2} + {b^2} = 3$ και

$\displaystyle a + b = \sqrt 3 \left( {\eta \mu \varphi + \sigma \upsilon \nu \varphi } \right) = \sqrt 6 \eta \mu \left( {\frac{\pi }{4} + \varphi } \right)$ , οπότε η 1η συνθήκη $\displaystyle \left( {a + b = 2} \right)$ γράφεται ισοδύναμα $\displaystyle \eta \mu \left( {\frac{\pi }{4} + \varphi } \right) = \frac{{\sqrt 6 }}{3}$ , που έχει λύση.

Για το 2ο:

Έστω $\displaystyle a = \sqrt 2 \sigma \upsilon \nu \varphi ,\;\;b = \sqrt 2 \eta \mu \varphi ,\;\forall \varphi \in R$ , οπότε $\displaystyle {a^2} + {b^2} = 2$ και

$\displaystyle a + b = \sqrt 2 \left( {\eta \mu \varphi + \sigma \upsilon \nu \varphi } \right) = 2\eta \mu \left( {\frac{\pi }{4} + \varphi } \right) \le 2$ , οπότε η 1η συνθήκη $\displaystyle \left( {a + b = 3} \right)$ οδηγεί σε άτοπο.

Το "λάθος"

Το "λάθος"

Re: Το "λάθος"

Re: Το "λάθος"

Re: Το "λάθος"

Μέλη σε σύνδεση